Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл arcsin(x) в пределах от 0 до 1 по x
Этап 1
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 2
Объединим и .
Этап 3
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Дифференцируем .
Этап 3.1.2
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.1.2.2
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.1.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.1.3.3
Умножим на .
Этап 3.1.4
Вычтем из .
Этап 3.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 3.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 3.3.1.2
Умножим на .
Этап 3.3.2
Добавим и .
Этап 3.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 3.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.5.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.5.1.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 3.5.1.2
Умножим на .
Этап 3.5.2
Вычтем из .
Этап 3.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 3.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.2
Умножим на .
Этап 4.3
Перенесем влево от .
Этап 5
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Умножим на .
Этап 6.2
Умножим на .
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Применим основные правила для показателей степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
С помощью запишем в виде .
Этап 8.2
Вынесем из знаменателя, возведя в степень.
Этап 8.3
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 8.3.2
Объединим и .
Этап 8.3.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 9
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 10
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Найдем значение в и в .
Этап 10.2
Найдем значение в и в .
Этап 10.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.3.1
Умножим на .
Этап 10.3.2
Умножим на .
Этап 10.3.3
Умножим на .
Этап 10.3.4
Добавим и .
Этап 10.3.5
Перепишем в виде .
Этап 10.3.6
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 10.3.7
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.3.7.1
Сократим общий множитель.
Этап 10.3.7.2
Перепишем это выражение.
Этап 10.3.8
Найдем экспоненту.
Этап 10.3.9
Умножим на .
Этап 10.3.10
Единица в любой степени равна единице.
Этап 10.3.11
Умножим на .
Этап 10.3.12
Вычтем из .
Этап 10.3.13
Объединим и .
Этап 10.3.14
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.3.14.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.3.14.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.3.14.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.3.14.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 10.3.14.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 10.3.14.2.4
Разделим на .
Этап 11
Точное значение : .
Этап 12
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: