Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл 6x^5e^(x^6) в пределах от 0 до 1 по x
Этап 1
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 2
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Дифференцируем .
Этап 2.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 2.3
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 2.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 2.5
Единица в любой степени равна единице.
Этап 2.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 2.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.1.3
Объединим и .
Этап 3.1.4
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.4.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.1.4.2.4
Разделим на .
Этап 3.2
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.2.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.2.3
Объединим и .
Этап 3.2.4
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.2.4.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.2.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.2.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.2.4.2.4
Разделим на .
Этап 3.3
Объединим и .
Этап 3.4
Объединим и .
Этап 4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Объединим и .
Этап 5.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.2.2.4
Разделим на .
Этап 6
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.1
Дифференцируем .
Этап 6.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 6.3
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 6.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 6.5
Единица в любой степени равна единице.
Этап 6.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 6.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 7
Объединим и .
Этап 8
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 9
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Объединим и .
Этап 9.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 9.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 9.3
Умножим на .
Этап 10
Интеграл по имеет вид .
Этап 11
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Найдем значение в и в .
Этап 11.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.1
Упростим.
Этап 11.2.2
Любое число в степени равно .
Этап 11.2.3
Умножим на .
Этап 12
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма:
Этап 13