Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 4 x^{3} e^{x^{4}} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{1} x^{3} e^{x^{4}} d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Этап 2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Этап 2.5

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ в виде ${u_{1}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u_{1}$ .

$4 \int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 3.3

Объединим $\frac{u_{1}}{2}$ и $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$4 \int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 5.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Этап 6.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Этап 6.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Этап 6.5

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 9.3

Умножим $\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 10

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $e^{u_{2}}$ в $1$ и в $0$ .

$(e^{1}) - e^{0}$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим.

$e - e^{0}$

Этап 11.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e - 1 \cdot 1$

Этап 11.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e - 1$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e - 1$

Десятичная форма:

$1.71828182 \dots$

Этап 13