Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x (4 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x (4 x^{\frac{1}{3}} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{0}^{1} x (4 x^{\frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} x (4 x^{\frac{1}{3}}) + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Этап 3.2

Изменим порядок $x$ и $4$ .

$\int_{0}^{1} 4 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Этап 3.3

Изменим порядок $x$ и $5$ .

$\int_{0}^{1} 4 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 (x^{1} x^{\frac{1}{3}}) + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{1} 4 x^{1 + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 3.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{3 + 1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 3.8

Добавим $3$ и $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 3.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 (x^{1} x^{\frac{1}{4}}) d x$

Этап 3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

Этап 3.11

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

Этап 3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

Этап 3.13

Добавим $4$ и $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Этап 3.14

Изменим порядок $4 x^{\frac{4}{3}}$ и $5 x^{\frac{5}{4}}$ .

$\int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} + 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{5}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ .

$5 (\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 7

Объединим $\frac{4}{9}$ и $x^{\frac{9}{4}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 8

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + 4 \int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{\frac{4}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + 4 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{3}{7}$ и $x^{\frac{7}{3}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + 4 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1})$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}$ в $1$ и в $0$ .

$5 ((\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9}) - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1})$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ в $1$ и в $0$ .

$5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$5 (\frac{4 \cdot 1}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.2

Умножим $4$ на $1$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.3

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.5.2

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{9}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.7

Умножим $4$ на $0$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.8

Сократим общий множитель $0$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.8.1

Вынесем множитель $9$ из $0$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{9 (0)}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$5 (\frac{4}{9} - 0) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$5 (\frac{4}{9} + 0) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.10

Добавим $\frac{4}{9}$ и $0$ .

$5 (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.11

Объединим $5$ и $\frac{4}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{9} + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.12

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.13

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3 \cdot 1}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.14

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.15

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 10.2.3.16

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7})$

Этап 10.2.3.17

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.17.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7})$

Этап 10.2.3.17.2

Перепишем это выражение.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{7}}{7})$

Этап 10.2.3.18

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0}{7})$

Этап 10.2.3.19

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{0}{7})$

Этап 10.2.3.20

Сократим общий множитель $0$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.20.1

Вынесем множитель $7$ из $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{7 (0)}{7})$

Этап 10.2.3.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.20.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1})$

Этап 10.2.3.20.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1})$

Этап 10.2.3.20.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{0}{1})$

Этап 10.2.3.20.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - 0)$

Этап 10.2.3.21

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} + 0)$

Этап 10.2.3.22

Добавим $\frac{3}{7}$ и $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7})$

Этап 10.2.3.23

Объединим $4$ и $\frac{3}{7}$ .

$\frac{20}{9} + \frac{4 \cdot 3}{7}$

Этап 10.2.3.24

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{20}{9} + \frac{12}{7}$

Этап 10.2.3.25

Чтобы записать $\frac{20}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7} + \frac{12}{7}$

Этап 10.2.3.26

Чтобы записать $\frac{12}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7} + \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 10.2.3.27

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $63$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.27.1

Умножим $\frac{20}{9}$ на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{20 \cdot 7}{9 \cdot 7} + \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 10.2.3.27.2

Умножим $9$ на $7$ .

$\frac{20 \cdot 7}{63} + \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 10.2.3.27.3

Умножим $\frac{12}{7}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20 \cdot 7}{63} + \frac{12 \cdot 9}{7 \cdot 9}$

Этап 10.2.3.27.4

Умножим $7$ на $9$ .

$\frac{20 \cdot 7}{63} + \frac{12 \cdot 9}{63}$

Этап 10.2.3.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{20 \cdot 7 + 12 \cdot 9}{63}$

Этап 10.2.3.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.29.1

Умножим $20$ на $7$ .

$\frac{140 + 12 \cdot 9}{63}$

Этап 10.2.3.29.2

Умножим $12$ на $9$ .

$\frac{140 + 108}{63}$

Этап 10.2.3.29.3

Добавим $140$ и $108$ .

$\frac{248}{63}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{248}{63}$

Десятичная форма:

$3.\overline{936507}$

Форма смешанных чисел:

$3 \frac{59}{63}$

Этап 12