Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ в $8$ и в $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.5

Объединим $\frac{3}{4}$ и $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.6

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $48$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.7.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.8

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Этап 3.2.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Сократим общий множитель.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Этап 3.2.10.2

Перепишем это выражение.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.2.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0$

Этап 3.2.12

Умножим $0$ на $- 1$ .

$12 + 0 (\frac{3}{4})$

Этап 3.2.13

Умножим $0$ на $\frac{3}{4}$ .

$12 + 0$

Этап 3.2.14

Добавим $12$ и $0$ .

$12$

Этап 4