Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{8} 8 - 4 \sqrt[3]{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{8} 8 d x + \int_{0}^{8} - 4 \sqrt[3]{x} d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 x]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} - 4 \sqrt[3]{x} d x$

Этап 3

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$8 x]_{0}^{8} - 4 \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} - 4 \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} - 4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x^{\frac{4}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} - 4 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $8 x$ в $8$ и в $0$ .

$(8 \cdot 8) - 8 \cdot 0 - 4 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ в $8$ и в $0$ .

$8 \cdot 8 - 8 \cdot 0 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $8$ на $8$ .

$64 - 8 \cdot 0 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 8$ на $0$ .

$64 + 0 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.3

Добавим $64$ и $0$ .

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.4

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$64 - 4 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.6.1

Сократим общий множитель.

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.6.2

Перепишем это выражение.

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.7

Возведем $2$ в степень $4$ .

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.8

Умножим $3$ на $16$ .

$64 - 4 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.9

Сократим общий множитель $48$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.9.1

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$64 - 4 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$64 - 4 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$64 - 4 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$64 - 4 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.9.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.10

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 6.2.3.11

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Этап 6.2.3.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.12.1

Сократим общий множитель.

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Этап 6.2.3.12.2

Перепишем это выражение.

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4})$

Этап 6.2.3.13

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0}{4})$

Этап 6.2.3.14

Умножим $3$ на $0$ .

$64 - 4 (12 - \frac{0}{4})$

Этап 6.2.3.15

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.15.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$64 - 4 (12 - \frac{4 (0)}{4})$

Этап 6.2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.15.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$64 - 4 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 6.2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$64 - 4 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 6.2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$64 - 4 (12 - \frac{0}{1})$

Этап 6.2.3.15.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$64 - 4 (12 - 0)$

Этап 6.2.3.16

Умножим $- 1$ на $0$ .

$64 - 4 (12 + 0)$

Этап 6.2.3.17

Добавим $12$ и $0$ .

$64 - 4 \cdot 12$

Этап 6.2.3.18

Умножим $- 4$ на $12$ .

$64 - 48$

Этап 6.2.3.19

Вычтем $48$ из $64$ .

$16$

Этап 7