Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 + 3 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 + 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 + 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 3 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $4 + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$0 + 3$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $3$ .

$3$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 + 3 x$ .

$u_{lower} = 4 + 3 \cdot 0$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $4$ и $0$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 + 3 x$ .

$u_{upper} = 4 + 3 \cdot 7$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $3$ на $7$ .

$u_{upper} = 4 + 21$

Этап 1.5.2

Добавим $4$ и $21$ .

$u_{upper} = 25$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{4}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int_{4}^{25} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{25}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $25$ и в $4$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.6

Умножим $2$ на $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 6.2.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Этап 6.2.11

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - 8 (\frac{2}{3}))$

Этап 6.2.12

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Этап 6.2.13

Умножим $- 8$ на $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 16}{3})$

Этап 6.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 6.2.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{250 - 16}{3}$

Этап 6.2.16

Вычтем $16$ из $250$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{234}{3}$

Этап 6.2.17

Сократим общий множитель $234$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.17.1

Вынесем множитель $3$ из $234$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3}$

Этап 6.2.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.17.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 (1)}$

Этап 6.2.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 \cdot 1}$

Этап 6.2.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{78}{1}$

Этап 6.2.17.2.4

Разделим $78$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 78$

Этап 6.2.18

Объединим $\frac{1}{3}$ и $78$ .

$\frac{78}{3}$

Этап 6.2.19

Сократим общий множитель $78$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.19.1

Вынесем множитель $3$ из $78$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3}$

Этап 6.2.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.19.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3 (1)}$

Этап 6.2.19.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1}$

Этап 6.2.19.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{26}{1}$

Этап 6.2.19.2.4

Разделим $26$ на $1$ .

$26$

Этап 7