Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Пусть , где . Тогда . Заметим, что поскольку , выражение положительно.
Этап 2
Этап 2.1
Упростим .
Этап 2.1.1
Упростим каждый член.
Этап 2.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 2.1.1.2
Возведем в степень .
Этап 2.1.1.3
Умножим на .
Этап 2.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.5
Применим формулу Пифагора.
Этап 2.1.6
Перепишем в виде .
Этап 2.1.7
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.2
Упростим.
Этап 2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.2
Применим правило умножения к .
Этап 2.2.3
Возведем в степень .
Этап 2.2.4
Умножим на .
Этап 2.2.5
Умножим на .
Этап 2.2.6
Возведем в степень .
Этап 2.2.7
Возведем в степень .
Этап 2.2.8
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.2.9
Добавим и .
Этап 3
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 5
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 6
Этап 6.1
Умножим на .
Этап 6.2
Умножим на .
Этап 7
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Этап 8.1
Объединим и .
Этап 8.2
Сократим общий множитель и .
Этап 8.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 8.2.2
Сократим общие множители.
Этап 8.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 8.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 8.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 8.2.2.4
Разделим на .
Этап 9
Этап 9.1
Пусть . Найдем .
Этап 9.1.1
Дифференцируем .
Этап 9.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 9.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 9.1.4
Умножим на .
Этап 9.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 9.3
Умножим на .
Этап 9.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 9.5
Сократим общий множитель .
Этап 9.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 9.5.2
Перепишем это выражение.
Этап 9.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 9.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 10
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 11
Этап 11.1
Упростим.
Этап 11.1.1
Объединим и .
Этап 11.1.2
Сократим общий множитель и .
Этап 11.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 11.1.2.2
Сократим общие множители.
Этап 11.1.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 11.1.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 11.1.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 11.1.2.2.4
Разделим на .
Этап 11.2
Развернем .
Этап 11.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 11.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 11.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 11.2.4
Перенесем .
Этап 11.2.5
Умножим на .
Этап 11.2.6
Умножим на .
Этап 11.2.7
Умножим на .
Этап 11.2.8
Вынесем за скобки отрицательное значение.
Этап 11.2.9
Возведем в степень .
Этап 11.2.10
Возведем в степень .
Этап 11.2.11
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 11.2.12
Добавим и .
Этап 11.2.13
Вычтем из .
Этап 11.2.14
Вычтем из .
Этап 12
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 13
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 14
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 15
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 16
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 17
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 18
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 19
Этап 19.1
Пусть . Найдем .
Этап 19.1.1
Дифференцируем .
Этап 19.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 19.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 19.1.4
Умножим на .
Этап 19.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 19.3
Умножим на .
Этап 19.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 19.5
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 19.6
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 20
Объединим и .
Этап 21
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 22
Интеграл по имеет вид .
Этап 23
Объединим и .
Этап 24
Этап 24.1
Найдем значение в и в .
Этап 24.2
Найдем значение в и в .
Этап 24.3
Найдем значение в и в .
Этап 24.4
Упростим.
Этап 24.4.1
Добавим и .
Этап 24.4.2
Добавим и .
Этап 25
Этап 25.1
Точное значение : .
Этап 25.2
Умножим на .
Этап 25.3
Добавим и .
Этап 26
Этап 26.1
Упростим каждый член.
Этап 26.1.1
Упростим числитель.
Этап 26.1.1.1
Удалим число полных оборотов , чтобы угол оказался больше или равен и меньше .
Этап 26.1.1.2
Точное значение : .
Этап 26.1.2
Разделим на .
Этап 26.2
Добавим и .
Этап 26.3
Объединим и .
Этап 26.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 26.5
Объединим и .
Этап 26.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 26.7
Перенесем влево от .
Этап 26.8
Сократим общий множитель .
Этап 26.8.1
Вынесем множитель из .
Этап 26.8.2
Сократим общий множитель.
Этап 26.8.3
Перепишем это выражение.
Этап 26.9
Вычтем из .
Этап 27
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма:
Этап 28