Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} \frac{1}{2 + t} d t d t$

Этап 1

Пусть $u = 2 + t$ . Тогда $d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 + t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 + t$ .

$\frac{d}{d t} [2 + t]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 + t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 + t$ .

$u_{lower} = 2 + 0$

Этап 1.3

Добавим $2$ и $0$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 + t$ .

$u_{upper} = 2 + 4$

Этап 1.5

Добавим $2$ и $4$ .

$u_{upper} = 6$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 6$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{6} \frac{1}{u} d u d t$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{6} d t$

Этап 3

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $6$ и в $2$ .

$(\ln (| 6 |) - \ln (| 2 |)) d t$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 6 |}{| 2 |}) d t$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $6$ равно $6$ .

$\ln (\frac{6}{| 2 |}) d t$

Этап 5.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\ln (\frac{6}{2}) d t$

Этап 5.3

Разделим $6$ на $2$ .

$\ln (3) d t$

Этап 6