Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} e^{t} - e^{- t} d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} e^{t} d t + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Этап 2

Интеграл $e^{t}$ по $t$ имеет вид $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} e^{- t} d t$

Этап 4

Пусть $u = - t$ . Тогда $d u = - d t$ , следовательно $- d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = - t$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = - t$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{- 3} - e^{u} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{t}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Этап 6.2

Умножим $\int_{0}^{- 3} e^{u} d u$ на $1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Этап 7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $e^{t}$ в $3$ и в $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Этап 8.2

Найдем значение $e^{u}$ в $- 3$ и в $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + (e^{- 3}) - e^{0}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e^{3} - 1 \cdot 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Этап 8.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{3} - 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Этап 8.3.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1 \cdot 1$

Этап 8.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1$

Этап 8.3.5

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Десятичная форма:

$18.13532399 \dots$

Этап 10