Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл x^2cos(4x) в пределах от 0 до pi по x
Этап 1
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Объединим и .
Этап 2.2
Объединим и .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Объединим и .
Этап 4.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Объединим и .
Этап 6.2
Объединим и .
Этап 6.3
Объединим и .
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Умножим на .
Этап 8.2
Умножим на .
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1.1
Дифференцируем .
Этап 10.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 10.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 10.1.4
Умножим на .
Этап 10.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 10.3
Умножим на .
Этап 10.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 10.5
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 10.6
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 11
Объединим и .
Этап 12
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 13
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Умножим на .
Этап 13.2
Умножим на .
Этап 14
Интеграл по имеет вид .
Этап 15
Объединим и .
Этап 16
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.1
Найдем значение в и в .
Этап 16.2
Найдем значение в и в .
Этап 16.3
Найдем значение в и в .
Этап 16.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.4.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 16.4.2
Умножим на .
Этап 16.4.3
Умножим на .
Этап 16.4.4
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.4.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 16.4.4.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.4.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 16.4.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 16.4.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 16.4.4.2.4
Разделим на .
Этап 16.4.5
Умножим на .
Этап 16.4.6
Добавим и .
Этап 16.4.7
Умножим на .
Этап 16.4.8
Умножим на .
Этап 16.4.9
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.4.9.1
Вынесем множитель из .
Этап 16.4.9.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.4.9.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 16.4.9.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 16.4.9.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 16.4.9.2.4
Разделим на .
Этап 16.4.10
Добавим и .
Этап 16.4.11
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 16.4.12
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.4.12.1
Умножим на .
Этап 16.4.12.2
Умножим на .
Этап 16.4.13
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 16.4.14
Умножим на .
Этап 16.4.15
Умножим на .
Этап 16.4.16
Умножим на .
Этап 16.4.17
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 16.4.18
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.4.18.1
Умножим на .
Этап 16.4.18.2
Умножим на .
Этап 16.4.19
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 16.4.20
Перенесем влево от .
Этап 17
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 17.1
Точное значение : .
Этап 17.2
Умножим на .
Этап 17.3
Добавим и .
Этап 18
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.1
Удалим число полных оборотов , чтобы угол оказался больше или равен и меньше .
Этап 18.2
Точное значение : .
Этап 18.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.3.1
Умножим на .
Этап 18.3.2
Умножим на .
Этап 18.4
Удалим число полных оборотов , чтобы угол оказался больше или равен и меньше .
Этап 18.5
Точное значение : .
Этап 18.6
Умножим на .
Этап 18.7
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.7.1
Удалим число полных оборотов , чтобы угол оказался больше или равен и меньше .
Этап 18.7.2
Точное значение : .
Этап 18.8
Добавим и .
Этап 18.9
Умножим на .
Этап 18.10
Сократим выражение путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.10.1
Вынесем множитель из .
Этап 18.10.2
Вынесем множитель из .
Этап 18.10.3
Вынесем множитель из .
Этап 18.10.4
Вынесем множитель из .
Этап 18.10.5
Сократим общий множитель.
Этап 18.10.6
Перепишем это выражение.
Этап 18.11
Добавим и .
Этап 19
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: