Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 в пределах от 0 до pi по x
Этап 1
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 2
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 3
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 4
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 5
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 6
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.1
Дифференцируем .
Этап 6.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 6.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.1.4
Умножим на .
Этап 6.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 6.3
Умножим на .
Этап 6.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 6.5
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 6.6
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 7
Объединим и .
Этап 8
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 9
Интеграл по имеет вид .
Этап 10
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Найдем значение в и в .
Этап 10.2
Найдем значение в и в .
Этап 10.3
Добавим и .
Этап 11
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Точное значение : .
Этап 11.2
Умножим на .
Этап 11.3
Добавим и .
Этап 11.4
Объединим и .
Этап 12
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1.1
Удалим число полных оборотов , чтобы угол оказался больше или равен и меньше .
Этап 12.1.2
Точное значение : .
Этап 12.2
Разделим на .
Этап 12.3
Умножим на .
Этап 12.4
Добавим и .
Этап 12.5
Объединим и .
Этап 13
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: