Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} 4 \sqrt{x} - \frac{5}{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 4 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{2} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{1}^{2} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{5}{x} d x$

Этап 7

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - (5 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 8

Умножим $5$ на $- 1$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - 5 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - 5 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

Этап 10.1.2

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $2$ и в $1$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$4 (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.1.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.1.3.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$4 (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.1.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 (\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.1.3.1.4

Добавим $2$ и $3$ .

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.1.3.5

Объединим $4$ и $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.1.3.6

Чтобы записать $- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 10.1.3.7

Объединим $- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} + \frac{- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

Этап 10.1.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

Этап 10.1.3.9

Умножим $3$ на $- 5$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 15 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$

Этап 10.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cdot 2^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Этап 10.3.2

Умножим $4 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Этап 10.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{2 + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Этап 10.3.2.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Этап 10.3.2.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Этап 10.3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{2 \cdot 2 + 5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Этап 10.3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2^{\frac{4 + 5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Этап 10.3.2.6.2

Добавим $4$ и $5$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Этап 10.3.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Этап 10.3.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{2}{| 1 |})}{3}$

Этап 10.3.5

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{2}{1})}{3}$

Этап 10.3.6

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (2)}{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (2)}{3}$

Десятичная форма:

$1.41006976 \dots$

Этап 12