Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл 2xe^(-x^2) в пределах от 1 до 2 по x
Этап 1
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 2
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Дифференцируем .
Этап 2.1.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.1.2.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 2.1.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.1.3
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.3.3
Умножим на .
Этап 2.1.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.4.1
Изменим порядок множителей в .
Этап 2.1.4.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 2.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 2.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 2.3.2
Умножим на .
Этап 2.3.3
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 2.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.1
Возведем в степень .
Этап 2.5.2
Умножим на .
Этап 2.5.3
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 2.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 5
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Объединим и .
Этап 5.2
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Найдем значение в и в .
Этап 5.2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1
Перепишем в виде произведения.
Этап 5.2.2.2
Умножим на .
Этап 5.2.2.3
Перенесем влево от .
Этап 5.2.2.4
Перепишем в виде произведения.
Этап 5.2.2.5
Умножим на .
Этап 5.2.2.6
Перенесем влево от .
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 6.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 6.2.3
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.4
Перепишем это выражение.
Этап 6.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 6.3.2
Сократим общий множитель.
Этап 6.3.3
Перепишем это выражение.
Этап 6.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 7
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма:
Этап 8