Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 3 - 5 x$ . Тогда $d u = - 5 d x$ , следовательно $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 - 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $3 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$0 - 5$

Этап 1.1.4

Вычтем $5$ из $0$ .

$- 5$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 - 5 x$ .

$u_{lower} = 3 - 5 \cdot 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$u_{lower} = 3 - 5$

Этап 1.3.2

Вычтем $5$ из $3$ .

$u_{lower} = - 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 - 5 x$ .

$u_{upper} = 3 - 5 \cdot 2$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$u_{upper} = 3 - 10$

Этап 1.5.2

Вычтем $10$ из $3$ .

$u_{upper} = - 7$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 7$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Этап 2.3

Перенесем $5$ влево от $u^{2}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{- 2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{5} - u^{- 1}]_{- 2}^{- 7}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $- 7$ и в $- 2$ .

$- \frac{1}{5} ((- {(- 7)}^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{- 7} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{5} (- - \frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{7}) + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.2.4

Умножим $\frac{1}{7}$ на $1$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Этап 7.2.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + \frac{1}{- 2})$

Этап 7.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} - \frac{1}{2})$

Этап 7.2.7

Чтобы записать $\frac{1}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 7.2.8

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Этап 7.2.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $14$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.9.1

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Этап 7.2.9.2

Умножим $7$ на $2$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Этап 7.2.9.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7})$

Этап 7.2.9.4

Умножим $2$ на $7$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{14})$

Этап 7.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2 - 7}{14}$

Этап 7.2.11

Вычтем $7$ из $2$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{- 5}{14}$

Этап 7.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{5} (- \frac{5}{14})$

Этап 7.2.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \frac{5}{14}$

Этап 7.2.14

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{14}$

Этап 7.2.15

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{5}{14}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 14}$

Этап 7.2.16

Умножим $5$ на $14$ .

$\frac{5}{70}$

Этап 7.2.17

Сократим общий множитель $5$ и $70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.17.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (1)}{70}$

Этап 7.2.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.17.2.1

Вынесем множитель $5$ из $70$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Этап 7.2.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Этап 7.2.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{14}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{14}$

Десятичная форма:

$0.0\overline{714285}$

Этап 9