Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} x \sin (π x^{2}) d x$

Этап 1

Пусть $u = π x^{2}$ . Тогда $d u = 2 \cdot x π d x$ , следовательно $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = π x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x^{2}$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$π (2 x)$

Этап 1.1.4

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π x$

Этап 1.1.5

Изменим порядок $2 π$ и $x$ .

$x (2 π)$

Этап 1.1.6

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$2 \cdot x π$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = π x^{2}$ .

$u_{lower} = π \cdot 1^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = π \cdot 1$

Этап 1.3.2

Умножим $π$ на $1$ .

$u_{lower} = π$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = π x^{2}$ .

$u_{upper} = π \cdot 3^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u_{upper} = π \cdot 9$

Этап 1.5.2

Перенесем $9$ влево от $π$ .

$u_{upper} = 9 π$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 9 π$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{π}^{9 π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Этап 2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{π}^{9 π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2 π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2 π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2 π} \int_{π}^{9 π} \sin (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{π}^{9 π}$

Этап 5

Найдем значение $- \cos (u)$ в $9 π$ и в $π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (9 π) + \cos (π))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (π))$

Этап 6.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + \cos (π))$

Этап 6.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + \cos (π))$

Этап 6.1.4

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + \cos (π))$

Этап 6.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + \cos (π))$

Этап 6.1.5

$\frac{1}{2 π} (1 - \cos (0))$

Этап 6.1.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1 \cdot 1)$

Этап 6.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1)$

Этап 6.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 0$

Этап 6.3

Умножим $\frac{1}{2 π}$ на $0$ .

$0$