Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} \frac{u - 2}{\sqrt{u}} d u$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{u - 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{4} (u - 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 4

Развернем $(u - 2) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{4} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 4.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{4} u^{1 - \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 4.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Этап 9.2

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.6

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 - 2}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.10

Вычтем $2$ из $16$ .

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.11

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.12

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.13.1

Сократим общий множитель.

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.13.2

Перепишем это выражение.

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.14

Найдем экспоненту.

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.15

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3.16

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2 \cdot 1)$

Этап 9.3.17

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2)$

Этап 9.3.18

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{14}{3} - 2 \cdot 2$

Этап 9.3.19

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{14}{3} - 4$

Этап 9.3.20

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.3.21

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Этап 9.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14 - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 9.3.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.23.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{14 - 12}{3}$

Этап 9.3.23.2

Вычтем $12$ из $14$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{6}$

Этап 11