Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} \ln (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = \sqrt{x}$ .

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} d x)$

Этап 4.2

Перенесем $x^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} d x)$

Этап 4.3

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} - 1} d x)$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

Этап 4.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3 - 2}{2}} d x)$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$(\frac{\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$(\frac{\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 8)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.5

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{\ln (4) \cdot 16}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.6

Перенесем $16$ влево от $\ln (4)$ .

$\frac{16 \cdot \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.8

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.9

Перенесем $2$ влево от $\ln (1)$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \cdot \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.10

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.11

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.12.2

Перепишем это выражение.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.13

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.14

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.15

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.16

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 6.3.17

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 6.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

Этап 6.3.19

Вычтем $2$ из $16$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{14}{3}$

Этап 6.3.20

Умножим $\frac{14}{3}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Этап 6.3.21

Умножим $14$ на $2$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{28}{3 \cdot 3}$

Этап 6.3.22

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{28}{9}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 \ln (4) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$\frac{16 \ln (2^{2}) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Этап 7.2.2

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{16 (2 \ln (2)) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Этап 7.2.3

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{32 \ln (2) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Этап 7.2.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{32 \ln (2) - 2 \cdot 0}{3} + \frac{- 28}{9}$

Этап 7.2.5

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{32 \ln (2) + 0}{3} + \frac{- 28}{9}$

Этап 7.3

Добавим $32 \ln (2)$ и $0$ .

$\frac{32 \ln (2)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{32 \ln (2)}{3} - \frac{28}{9}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{32 \ln (2)}{3} - \frac{28}{9}$

Десятичная форма:

$4.28245881 \dots$