Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} 5 - 2 x + 3 x^{2} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} 5 d x + \int_{1}^{4} - 2 x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 2 x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Этап 3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$5 x]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $5 x$ в $4$ и в $1$ .

$(5 \cdot 4) - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $1$ .

$5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 8.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $5$ на $4$ .

$20 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$20 - 5 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.3

Вычтем $5$ из $20$ .

$15 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$15 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$15 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$15 - 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6

Единица в любой степени равна единице.

$15 - 2 (8 - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$15 - 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.8

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$15 - 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$15 - 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.10.1

Умножим $8$ на $2$ .

$15 - 2 \frac{16 - 1}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.10.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$15 - 2 (\frac{15}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.11

Объединим $- 2$ и $\frac{15}{2}$ .

$15 + \frac{- 2 \cdot 15}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.12

Умножим $- 2$ на $15$ .

$15 + \frac{- 30}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.13

Сократим общий множитель $- 30$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 30$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.13.2.2

Сократим общий множитель.

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.13.2.3

Перепишем это выражение.

$15 + \frac{- 15}{1} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.13.2.4

Разделим $- 15$ на $1$ .

$15 - 15 + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.14

Вычтем $15$ из $15$ .

$0 + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.15

Возведем $4$ в степень $3$ .

$0 + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.16

Единица в любой степени равна единице.

$0 + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8.2.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + 3 \frac{64 - 1}{3}$

Этап 8.2.4.18

Вычтем $1$ из $64$ .

$0 + 3 (\frac{63}{3})$

Этап 8.2.4.19

Сократим общий множитель $63$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.19.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Этап 8.2.4.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.19.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Этап 8.2.4.19.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Этап 8.2.4.19.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + 3 (\frac{21}{1})$

Этап 8.2.4.19.2.4

Разделим $21$ на $1$ .

$0 + 3 \cdot 21$

Этап 8.2.4.20

Умножим $3$ на $21$ .

$0 + 63$

Этап 8.2.4.21

Добавим $0$ и $63$ .

$63$

Этап 9