Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} x^{2} + \sqrt{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}$ и $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 8 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.7

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.8

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{64}{3} + \frac{16}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 + 16}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.10

Добавим $64$ и $16$ .

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.12

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.13

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 5.2.2.14

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3})$

Этап 5.2.2.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{80}{3} - \frac{1 + 2}{3}$

Этап 5.2.2.16

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{80}{3} - \frac{3}{3}$

Этап 5.2.2.17

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.17.1

Сократим общий множитель.

$\frac{80}{3} - \frac{3}{3}$

Этап 5.2.2.17.2

Перепишем это выражение.

$\frac{80}{3} - 1 \cdot 1$

Этап 5.2.2.18

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{80}{3} - 1$

Этап 5.2.2.19

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.2.20

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.2.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{80 - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.2.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.22.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{80 - 3}{3}$

Этап 5.2.2.22.2

Вычтем $3$ из $80$ .

$\frac{77}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{77}{3}$

Десятичная форма:

$25.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$25 \frac{2}{3}$

Этап 7