Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} 10 - 4 x d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} 10 d x + \int_{1}^{4} - 4 x d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$10 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 4 x d x$

Этап 3

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$10 x]_{1}^{4} - 4 \int_{1}^{4} x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$10 x]_{1}^{4} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$10 x]_{1}^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $10 x$ в $4$ и в $1$ .

$(10 \cdot 4) - 10 \cdot 1 - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4})$

Этап 5.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $1$ .

$10 \cdot 4 - 10 \cdot 1 - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $10$ на $4$ .

$40 - 10 \cdot 1 - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 10$ на $1$ .

$40 - 10 - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.3

Вычтем $10$ из $40$ .

$30 - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$30 - 4 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$30 - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$30 - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$30 - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$30 - 4 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$30 - 4 (8 - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$30 - 4 (8 - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.3.7

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$30 - 4 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.3.8

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$30 - 4 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$30 - 4 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 5.2.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.10.1

Умножим $8$ на $2$ .

$30 - 4 \frac{16 - 1}{2}$

Этап 5.2.3.10.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$30 - 4 (\frac{15}{2})$

Этап 5.2.3.11

Объединим $- 4$ и $\frac{15}{2}$ .

$30 + \frac{- 4 \cdot 15}{2}$

Этап 5.2.3.12

Умножим $- 4$ на $15$ .

$30 + \frac{- 60}{2}$

Этап 5.2.3.13

Сократим общий множитель $- 60$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 60$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 30}{2}$

Этап 5.2.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 30}{2 (1)}$

Этап 5.2.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$30 + \frac{2 \cdot - 30}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$30 + \frac{- 30}{1}$

Этап 5.2.3.13.2.4

Разделим $- 30$ на $1$ .

$30 - 30$

Этап 5.2.3.14

Вычтем $30$ из $30$ .

$0$

Этап 6