Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.4

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Этап 6.1.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ и $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ в $4$ и в $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.2

Перенесем $16$ влево от $\ln (4)$ .

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16 \ln (4)$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3.2.4

Разделим $8 \ln (4)$ на $1$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.5

Перенесем $4$ влево от $\ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.6

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.6.2.4

Разделим $2 \ln (2)$ на $1$ .

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.8

Возведем $4$ в степень $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.11

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

Этап 6.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

Этап 6.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

Этап 6.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

Этап 6.2.3.11.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

Этап 6.2.3.12

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

Этап 6.2.3.13

Вычтем $2$ из $8$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

Этап 6.2.3.14

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.14.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

Этап 6.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

Этап 6.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

Этап 6.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

Этап 6.2.3.14.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

Этап 6.2.3.15

Умножим $- 1$ на $3$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Этап 7.2.2

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Этап 7.2.3

Умножим $- 2$ на $6$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

Этап 7.2.4

Умножим $6$ на $- 3$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

Этап 7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $2$ на $8$ .

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

Этап 7.3.2

Умножим $16$ на $6$ .

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

Этап 7.4

Вычтем $12 \ln (2)$ из $96 \ln (2)$ .

$84 \ln (2) - 18$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$84 \ln (2) - 18$

Десятичная форма:

$40.22436316 \dots$