Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} \ln^{2} (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln^{2} (x)$ и $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x$ и $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим $\ln (x^{2})$ на $1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Этап 3

Перепишем $\ln (x^{2})$ в виде $2 \ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - (2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x)$

Этап 5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\ln^{2} (x) x$ в $e$ и в $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Этап 9.2

Найдем значение $\ln (x) x$ в $e$ и в $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Этап 9.3

Найдем значение $x$ в $e$ и в $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Этап 9.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$1^{2} e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Этап 10.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Этап 10.1.3

Умножим $e$ на $1$ .

$e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Этап 10.1.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e - 0^{2} - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Этап 10.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e - 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Этап 10.1.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e + 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Этап 10.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.7.1

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$e + 0 - 2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Этап 10.1.7.2

Умножим $e$ на $1$ .

$e + 0 - 2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Этап 10.1.7.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e + 0 - 2 (e - 0 - (e - 1))$

Этап 10.1.7.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - (e - 1))$

Этап 10.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$e + 0 - 2 (e + 0 - e - - 1)$

Этап 10.1.7.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - e + 1)$

Этап 10.1.8

Добавим $e$ и $0$ .

$e + 0 - 2 (e - e + 1)$

Этап 10.1.9

Вычтем $e$ из $e$ .

$e + 0 - 2 (0 + 1)$

Этап 10.1.10

Добавим $0$ и $1$ .

$e + 0 - 2 \cdot 1$

Этап 10.1.11

Умножим $- 2$ на $1$ .

$e + 0 - 2$

Этап 10.2

Добавим $e$ и $0$ .

$e - 2$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e - 2$

Десятичная форма:

$0.71828182 \dots$