Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Этап 3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Этап 3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.1.2

Умножим $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ на $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 5.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ и $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ в $e$ и в $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1})$

Этап 7.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим $\ln (1)$ на $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1})$

Этап 7.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1)$

Этап 7.2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1)$

Этап 7.2.2.4

Чтобы записать $- (- \ln (1) - 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e}$

Этап 7.2.2.5

Объединим $- (- \ln (1) - 1)$ и $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.2.2.7

Чтобы записать $- e^{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.2.2.8

Объединим $- e^{- 1}$ и $\frac{e}{e}$ .

$\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.2.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.2.2.10

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.2.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.2.2.12

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.2.2.13

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.2.2.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (e)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (\ln (e))$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- \ln (1) - 1) e$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Этап 7.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Этап 7.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (- 0 - 1) e}{e}$

Этап 7.4.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (0 - 1) e}{e}$

Этап 7.4.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - 1 e}{e}$

Этап 7.4.4

Перепишем $- 1 e$ в виде $- e$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - e}{e}$

Этап 7.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.5.1

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- \frac{1 + 1 - e}{e}$

Этап 7.4.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{2 - e}{e}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{2 - e}{e}$

Десятичная форма:

$0.26424111 \dots$