Математический анализ Примеры

$\int_{- 10}^{0} \sqrt{100 - x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 10 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 10 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $10 \cos (t)$ положительно.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{100 - {(10 \sin (t))}^{2}} (10 \cos (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{100 - {(10 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $10 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{100 - (10^{2} \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $10$ в степень $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{100 - (100 \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.3

Умножим $100$ на $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{100 - 100 \sin^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $100$ из $100$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{100 (1) - 100 \sin^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $100$ из $- 100 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{100 (1) + 100 (- \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $100$ из $100 (1) + 100 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{100 (1 - \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{100 \cos^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $100 \cos^{2} (t)$ в виде ${(10 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{{(10 \cos (t))}^{2}} (10 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 10 \cos (t) (10 \cos (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $10$ на $10$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 100 \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 2.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 100 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Этап 2.2.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 100 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Этап 2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 100 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 100 \cos^{2} (t) d t$

Этап 3

Поскольку $100$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $100$ из-под знака интеграла.

$100 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos^{2} (t) d t$

Этап 4

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$100 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$100 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $100$ .

$\frac{100}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{50}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2.4

Разделим $50$ на $1$ .

$50 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$50 (\int_{- \frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$50 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Этап 9

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 9.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Этап 9.3.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = - π$

Этап 9.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Этап 9.5

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 9.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = 0$

Этап 9.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$50 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 10

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$50 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$50 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{0} \cos (u) d u)$

Этап 12

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$50 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{0})$

Этап 13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (u)]_{- π}^{0}$ .

$50 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{0}}{2})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $t$ в $0$ и в $- \frac{π}{2}$ .

$50 ((0) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{0}}{2})$

Этап 14.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $0$ и в $- π$ .

$50 ((0) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (0)) - \sin (- π)}{2})$

Этап 14.3

Добавим $0$ и $\frac{π}{2}$ .

$50 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$50 (\frac{π}{2} + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Этап 15.2

Вычтем $\sin (- π)$ из $0$ .

$50 (\frac{π}{2} + \frac{- \sin (- π)}{2})$

Этап 15.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$50 (\frac{π}{2} - \frac{\sin (- π)}{2})$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$50 (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Этап 16.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$50 (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 16.2

Разделим $0$ на $2$ .

$50 (\frac{π}{2} - 0)$

Этап 16.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$50 (\frac{π}{2} + 0)$

Этап 16.4

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$50 \frac{π}{2}$

Этап 16.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$2 (25) \frac{π}{2}$

Этап 16.5.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 25 \frac{π}{2}$

Этап 16.5.3

Перепишем это выражение.

$25 π$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$25 π$

Десятичная форма:

$78.53981633 \dots$

Этап 18