Математический анализ Примеры

$\int_{12}^{13} x \sqrt{x^{2} - 144} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} - 144$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} - 144$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 144$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 144]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 144$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 144]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 144$ является константой относительно $x$ , производная $- 144$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 144$ .

$u_{lower} = 12^{2} - 144$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$u_{lower} = 144 - 144$

Этап 1.3.2

Вычтем $144$ из $144$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 144$ .

$u_{upper} = 13^{2} - 144$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $13$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 169 - 144$

Этап 1.5.2

Вычтем $144$ из $169$ .

$u_{upper} = 25$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $25$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.6

Умножим $2$ на $125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Этап 6.2.11

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Этап 6.2.12

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + 0)$

Этап 6.2.13

Добавим $\frac{250}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250}{3}$

Этап 6.2.14

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{250}{3}$ .

$\frac{250}{2 \cdot 3}$

Этап 6.2.15

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{250}{6}$

Этап 6.2.16

Сократим общий множитель $250$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.1

Вынесем множитель $2$ из $250$ .

$\frac{2 (125)}{6}$

Этап 6.2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Этап 6.2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Этап 6.2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{125}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{125}{3}$

Десятичная форма:

$41.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$41 \frac{2}{3}$

Этап 8