Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл cos(x)^6 по x
Этап 1
Упростим с помощью разложения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2
Перепишем в виде степенного выражения.
Этап 2
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 3
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Дифференцируем .
Этап 3.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.1.4
Умножим на .
Этап 3.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 5
Упростим путем перемножения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Перепишем в виде произведения.
Этап 5.2
Развернем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Перепишем степенное выражение в виде произведения.
Этап 5.2.2
Перепишем степенное выражение в виде произведения.
Этап 5.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.6
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.7
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.8
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.9
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.10
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.11
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.12
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.13
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.14
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.15
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.16
Изменим порядок и .
Этап 5.2.17
Изменим порядок и .
Этап 5.2.18
Изменим порядок и .
Этап 5.2.19
Перенесем .
Этап 5.2.20
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.21
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.22
Перенесем .
Этап 5.2.23
Изменим порядок и .
Этап 5.2.24
Изменим порядок и .
Этап 5.2.25
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.26
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.27
Перенесем .
Этап 5.2.28
Изменим порядок и .
Этап 5.2.29
Изменим порядок и .
Этап 5.2.30
Перенесем .
Этап 5.2.31
Изменим порядок и .
Этап 5.2.32
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.33
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.34
Перенесем .
Этап 5.2.35
Изменим порядок и .
Этап 5.2.36
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.37
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.38
Изменим порядок и .
Этап 5.2.39
Изменим порядок и .
Этап 5.2.40
Перенесем .
Этап 5.2.41
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.42
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.43
Перенесем .
Этап 5.2.44
Перенесем .
Этап 5.2.45
Изменим порядок и .
Этап 5.2.46
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.47
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.48
Перенесем .
Этап 5.2.49
Изменим порядок и .
Этап 5.2.50
Изменим порядок и .
Этап 5.2.51
Перенесем .
Этап 5.2.52
Изменим порядок и .
Этап 5.2.53
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.54
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.55
Перенесем .
Этап 5.2.56
Изменим порядок и .
Этап 5.2.57
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.58
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.59
Умножим на .
Этап 5.2.60
Умножим на .
Этап 5.2.61
Умножим на .
Этап 5.2.62
Умножим на .
Этап 5.2.63
Умножим на .
Этап 5.2.64
Умножим на .
Этап 5.2.65
Умножим на .
Этап 5.2.66
Умножим на .
Этап 5.2.67
Умножим на .
Этап 5.2.68
Умножим на .
Этап 5.2.69
Умножим на .
Этап 5.2.70
Умножим на .
Этап 5.2.71
Умножим на .
Этап 5.2.72
Объединим и .
Этап 5.2.73
Умножим на .
Этап 5.2.74
Умножим на .
Этап 5.2.75
Умножим на .
Этап 5.2.76
Умножим на .
Этап 5.2.77
Объединим и .
Этап 5.2.78
Умножим на .
Этап 5.2.79
Умножим на .
Этап 5.2.80
Умножим на .
Этап 5.2.81
Умножим на .
Этап 5.2.82
Умножим на .
Этап 5.2.83
Объединим и .
Этап 5.2.84
Умножим на .
Этап 5.2.85
Умножим на .
Этап 5.2.86
Объединим и .
Этап 5.2.87
Возведем в степень .
Этап 5.2.88
Возведем в степень .
Этап 5.2.89
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.2.90
Добавим и .
Этап 5.2.91
Добавим и .
Этап 5.2.92
Объединим и .
Этап 5.2.93
Умножим на .
Этап 5.2.94
Умножим на .
Этап 5.2.95
Объединим и .
Этап 5.2.96
Умножим на .
Этап 5.2.97
Умножим на .
Этап 5.2.98
Умножим на .
Этап 5.2.99
Умножим на .
Этап 5.2.100
Умножим на .
Этап 5.2.101
Объединим и .
Этап 5.2.102
Умножим на .
Этап 5.2.103
Умножим на .
Этап 5.2.104
Умножим на .
Этап 5.2.105
Умножим на .
Этап 5.2.106
Объединим и .
Этап 5.2.107
Возведем в степень .
Этап 5.2.108
Возведем в степень .
Этап 5.2.109
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.2.110
Добавим и .
Этап 5.2.111
Умножим на .
Этап 5.2.112
Объединим и .
Этап 5.2.113
Умножим на .
Этап 5.2.114
Умножим на .
Этап 5.2.115
Объединим и .
Этап 5.2.116
Возведем в степень .
Этап 5.2.117
Возведем в степень .
Этап 5.2.118
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.2.119
Добавим и .
Этап 5.2.120
Умножим на .
Этап 5.2.121
Умножим на .
Этап 5.2.122
Объединим и .
Этап 5.2.123
Умножим на .
Этап 5.2.124
Умножим на .
Этап 5.2.125
Объединим и .
Этап 5.2.126
Возведем в степень .
Этап 5.2.127
Возведем в степень .
Этап 5.2.128
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.2.129
Добавим и .
Этап 5.2.130
Умножим на .
Этап 5.2.131
Умножим на .
Этап 5.2.132
Объединим и .
Этап 5.2.133
Возведем в степень .
Этап 5.2.134
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.2.135
Добавим и .
Этап 5.2.136
Добавим и .
Этап 5.2.137
Объединим и .
Этап 5.2.138
Изменим порядок и .
Этап 5.2.139
Изменим порядок и .
Этап 5.2.140
Изменим порядок и .
Этап 5.2.141
Перенесем .
Этап 5.2.142
Перенесем .
Этап 5.2.143
Перенесем .
Этап 5.2.144
Изменим порядок и .
Этап 5.2.145
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.2.146
Добавим и .
Этап 5.2.147
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.2.148
Добавим и .
Этап 6
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Вынесем за скобки.
Этап 9
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 10
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1.1
Дифференцируем .
Этап 10.1.2
Производная по равна .
Этап 10.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 11
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 12
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 13
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 14
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 15
Объединим и .
Этап 16
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 17
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 18
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 19
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 19.1
Умножим на .
Этап 19.2
Умножим на .
Этап 20
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 21
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 22
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 22.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 22.1.1
Дифференцируем .
Этап 22.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 22.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 22.1.4
Умножим на .
Этап 22.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 23
Объединим и .
Этап 24
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 25
Интеграл по имеет вид .
Этап 26
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 27
Объединим и .
Этап 28
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 29
Интеграл по имеет вид .
Этап 30
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 30.1
Упростим.
Этап 30.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 30.2.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 30.2.2
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 30.2.2.1
Умножим на .
Этап 30.2.2.2
Умножим на .
Этап 30.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 30.2.4
Перенесем влево от .
Этап 30.2.5
Добавим и .
Этап 31
Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 31.1
Заменим все вхождения на .
Этап 31.2
Заменим все вхождения на .
Этап 31.3
Заменим все вхождения на .
Этап 31.4
Заменим все вхождения на .
Этап 32
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 32.2
Добавим и .
Этап 32.3
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.3.1
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.3.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 32.3.1.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.3.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 32.3.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 32.3.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 32.3.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 32.3.3
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.3.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 32.3.3.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.3.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 32.3.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 32.3.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 32.3.4
Умножим на .
Этап 32.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 32.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.5.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.5.1.1
Умножим на .
Этап 32.5.1.2
Умножим на .
Этап 32.5.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.5.2.1
Умножим на .
Этап 32.5.2.2
Умножим на .
Этап 32.5.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.5.3.1
Умножим на .
Этап 32.5.3.2
Умножим на .
Этап 32.5.4
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 32.5.4.1
Умножим на .
Этап 32.5.4.2
Умножим на .
Этап 33
Изменим порядок членов.