Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{0} - 12 x - x^{2} + x^{3} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{0} - 12 x d x + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Этап 2

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$- 12 \int_{- 3}^{0} x d x + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - \int_{- 3}^{0} x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 3$ .

$- 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $0$ и в $- 3$ .

$- 12 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$

Этап 9.3

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $0$ и в $- 3$ .

$- 12 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 12 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 12 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- 12 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 12 (0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 12 (0 - \frac{9}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.4

Вычтем $\frac{9}{2}$ из $0$ .

$- 12 (- \frac{9}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.5

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$12 (\frac{9}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.6

Объединим $12$ и $\frac{9}{2}$ .

$\frac{12 \cdot 9}{2} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.7

Умножим $12$ на $9$ .

$\frac{108}{2} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.8

Сократим общий множитель $108$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $108$ .

$\frac{2 \cdot 54}{2} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 54}{2 (1)} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 1} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{54}{1} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.8.2.4

Разделим $54$ на $1$ .

$54 - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$54 - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$54 - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$54 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$54 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$54 - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$54 - (0 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.11

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$54 - (0 - \frac{- 27}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.12

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.12.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$54 - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$54 - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$54 - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$54 - (0 - \frac{- 9}{1}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.12.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$54 - (0 - - 9) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.13

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$54 - (0 + 9) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.14

Добавим $0$ и $9$ .

$54 - 1 \cdot 9 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.15

Умножим $- 1$ на $9$ .

$54 - 9 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.16

Вычтем $9$ из $54$ .

$45 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.17

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$45 + \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.18

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$45 + 0 - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Этап 9.4.19

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$45 + 0 - \frac{1}{4} \cdot 81$

Этап 9.4.20

Умножим $81$ на $- 1$ .

$45 + 0 - 81 (\frac{1}{4})$

Этап 9.4.21

Объединим $- 81$ и $\frac{1}{4}$ .

$45 + 0 + \frac{- 81}{4}$

Этап 9.4.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$45 + 0 - \frac{81}{4}$

Этап 9.4.23

Вычтем $\frac{81}{4}$ из $0$ .

$45 - \frac{81}{4}$

Этап 9.4.24

Чтобы записать $45$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$45 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4}$

Этап 9.4.25

Объединим $45$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4}$

Этап 9.4.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{45 \cdot 4 - 81}{4}$

Этап 9.4.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.27.1

Умножим $45$ на $4$ .

$\frac{180 - 81}{4}$

Этап 9.4.27.2

Вычтем $81$ из $180$ .

$\frac{99}{4}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{99}{4}$

Десятичная форма:

$24.75$

Форма смешанных чисел:

$24 \frac{3}{4}$

Этап 11