Математический анализ Примеры

$\int 2 x (1 - x^{- 3}) d x$

Этап 1

Умножим $2 x (1 - x^{- 3})$ .

$\int 2 x \cdot 1 + 2 x (- x^{- 3}) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\int 2 x + 2 x (- x^{- 3}) d x$

Этап 2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int 2 x - 2 x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 2.3

Умножим $x$ на $x^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $x^{- 3}$ .

$\int 2 x - 2 (x^{- 3} x) d x$

Этап 2.3.2

Умножим $x^{- 3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 2 x - 2 (x^{- 3} x^{1}) d x$

Этап 2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 x - 2 x^{- 3 + 1} d x$

Этап 2.3.3

Добавим $- 3$ и $1$ .

$\int 2 x - 2 x^{- 2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x d x + \int - 2 x^{- 2} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x d x + \int - 2 x^{- 2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 2 x^{- 2} d x$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 2 \int x^{- 2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 2 (- x^{- 1} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} - 2 (- x^{- 1}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} - 2 (- x^{- 1}) + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} x^{2} - 2 (- x^{- 1}) + C$

Этап 8.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 x^{2} - 2 (- x^{- 1}) + C$

Этап 8.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} - 2 (- x^{- 1}) + C$

Этап 8.2.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$x^{2} + 2 x^{- 1} + C$