Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{10} | x - 5 | d x$

Этап 1

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x - 5$ принимает положительные и отрицательные значения.

$\int_{0}^{5} - x + 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{5} - x d x + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{5} x d x + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \int_{5}^{10} x d x + \int_{5}^{10} - 5 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{10} + \int_{5}^{10} - 5 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{10} + - 5 x]_{5}^{10}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{10}$ и $- 5 x]_{5}^{10}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]_{5}^{10}$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $0$ .

$- ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]_{5}^{10}$

Этап 10.2.2

Найдем значение $5 x$ в $5$ и в $0$ .

$- (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]_{5}^{10}$

Этап 10.2.3

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} - 5 x$ в $10$ и в $5$ .

$- (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{25}{2} - \frac{0}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{25}{2} - \frac{0}{1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{25}{2} - 0) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{25}{2} + 0) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.5

Добавим $\frac{25}{2}$ и $0$ .

$- \frac{25}{2} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.6

Умножим $5$ на $5$ .

$- \frac{25}{2} + 25 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.7

Умножим $- 5$ на $0$ .

$- \frac{25}{2} + 25 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.8

Добавим $25$ и $0$ .

$- \frac{25}{2} + 25 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.9

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.10

Объединим $25$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.12.1

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{- 25 + 50}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.12.2

Добавим $- 25$ и $50$ .

$\frac{25}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.13

Возведем $10$ в степень $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{1}{2} \cdot 100 - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и $100$ .

$\frac{25}{2} + \frac{100}{2} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.15

Сократим общий множитель $100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.15.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 50}{2} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{25}{2} + \frac{50}{1} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.15.2.4

Разделим $50$ на $1$ .

$\frac{25}{2} + 50 - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.16

Умножим $- 5$ на $10$ .

$\frac{25}{2} + 50 - 50 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.17

Вычтем $50$ из $50$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.18

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 25 - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.19

Объединим $\frac{1}{2}$ и $25$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} - 5 \cdot 5)$

Этап 10.2.4.20

Умножим $- 5$ на $5$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} - 25)$

Этап 10.2.4.21

Чтобы записать $- 25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} - 25 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 10.2.4.22

Объединим $- 25$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} + \frac{- 25 \cdot 2}{2})$

Этап 10.2.4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25}{2} + 0 - \frac{25 - 25 \cdot 2}{2}$

Этап 10.2.4.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.24.1

Умножим $- 25$ на $2$ .

$\frac{25}{2} + 0 - \frac{25 - 50}{2}$

Этап 10.2.4.24.2

Вычтем $50$ из $25$ .

$\frac{25}{2} + 0 - \frac{- 25}{2}$

Этап 10.2.4.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{25}{2} + 0 - - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.4.26

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{25}{2} + 0 + 1 (\frac{25}{2})$

Этап 10.2.4.27

Умножим $\frac{25}{2}$ на $1$ .

$\frac{25}{2} + 0 + \frac{25}{2}$

Этап 10.2.4.28

Добавим $0$ и $\frac{25}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{25}{2}$

Этап 10.2.4.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25 + 25}{2}$

Этап 10.2.4.30

Добавим $25$ и $25$ .

$\frac{50}{2}$

Этап 10.2.4.31

Сократим общий множитель $50$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.31.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$\frac{2 \cdot 25}{2}$

Этап 10.2.4.31.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.31.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 25}{2 (1)}$

Этап 10.2.4.31.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.4.31.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{25}{1}$

Этап 10.2.4.31.2.4

Разделим $25$ на $1$ .

$25$

Этап 11