Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{12} 2 n + 1$

Этап 1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{n = 1}^{12} 2 n + 1 = 2 \sum_{n = 1}^{12} n + \sum_{n = 1}^{12} 1$

Этап 2

Найдем значение $2 \sum_{n = 1}^{12} n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(2) (\frac{12 (12 + 1)}{2})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $12$ и $1$ .

$2 \frac{12 \cdot 13}{2}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $12$ на $13$ .

$2 (\frac{156}{2})$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{156}{2})$

Этап 2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$156$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{12} 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3.2

Подставим значения в формулу.

$(1) (12)$

Этап 3.3

Умножим $12$ на $1$ .

$12$

Этап 4

Сложим результаты суммирования.

$156 + 12$

Этап 5

Добавим $156$ и $12$ .

$168$