Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 7]$

Этап 1

Проверим непрерывность $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 1.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 7]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2

Проверим дифференцируемость $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Этап 2.1.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Этап 2.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Этап 2.2

Выясним, является ли производная непрерывной на $[0, 7]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 7]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2.3

Функция является дифференцируемой на $[0, 7]$ , поскольку производная является непрерывной на $[0, 7]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 3

Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке $[0, 7]$ .

Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале $[0, 7]$ .

Этап 4

Найдем производную $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Этап 4.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x + 2$

Этап 5

Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{7} \sqrt{1 + {(2 x + 2)}^{2}} d x$

Этап 6

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 5$

Этап 6.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Этап 6.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 6.1.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 6.1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 6.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 6.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = 5 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Этап 6.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 5 - \frac{64}{16}$

Этап 6.1.4.2.1.3

Разделим $64$ на $16$ .

$e = 5 - 1 \cdot 4$

Этап 6.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 5 - 4$

Этап 6.1.4.2.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$e = 1$

Этап 6.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x + 1)}^{2} + 1$ .

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 {(x + 1)}^{2} + 1} d x$

Этап 6.2

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 6.2.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 6.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 6.2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Этап 6.2.5

Добавим $7$ и $1$ .

$u_{upper} = 8$

Этап 6.2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Этап 6.2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{8} \sqrt{4 u^{2} + 1} d u$

Этап 6.3

Пусть $u = \frac{1}{2} \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ положительно.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 6.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\tan (t)$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 6.4.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 6.4.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 6.4.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 6.4.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 6.4.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 6.4.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 6.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $\sec (t)$ и $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 6.4.2.2

Умножим $\sec (t)$ на $\sec^{2} (t)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Умножим $\sec (t)$ на $\sec^{2} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 6.4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Этап 6.4.2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Этап 6.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.50837751} \sec^{3} (t) d t$

Этап 6.6

Применим формулу приведения.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} + \frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.50837751} \sec (t) d t)$

Этап 6.7

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751})$

Этап 6.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2})$

Этап 6.8.2

Чтобы записать $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2})$

Этап 6.8.3

Объединим $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2})$

Этап 6.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2}$

Этап 6.8.5

Перенесем $2$ влево от $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2}$

Этап 6.8.6

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.8.7

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{4}$

Этап 6.9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Найдем значение $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ в $1.50837751$ и в $1.10714871$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{4}$

Этап 6.9.2

Найдем значение $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ в $1.50837751$ и в $1.10714871$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + (\ln (| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |)) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

Этап 6.9.3

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

Этап 6.10

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1.1

Найдем значение $\tan (1.10714871)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{2 \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11.1.2

Найдем значение $\sec (1.10714871)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{2 \cdot 2.23606797}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11.2

Умножим $2$ на $2.23606797$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{4.47213595}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11.3

Разделим $4.47213595$ на $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - 1 \cdot 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11.4

Умножим $- 1$ на $2.23606797$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.5.1.1

Найдем значение $\tan (1.50837751)$ .

$\frac{2 (\frac{16 \sec (1.50837751)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11.5.1.2

Найдем значение $\sec (1.50837751)$ .

$\frac{2 (\frac{16 \cdot 16.03121954}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11.5.2

Умножим $16$ на $16.03121954$ .

$\frac{2 (\frac{256.49951267}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11.5.3

Разделим $256.49951267$ на $2$ .

$\frac{2 (128.24975633 - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11.6

Вычтем $2.23606797$ из $128.24975633$ .

$\frac{2 \cdot 126.01368835 + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11.7

Умножим $2$ на $126.01368835$ .

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11.8

$\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)$ приблизительно равно $32.03121954$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Этап 6.11.9

$\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)$ приблизительно равно $4.23606797$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

Десятичная форма:

$63.51261306 \dots$

Этап 8