Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) + 1}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{x + h}{x + h + 1}$ .

$\frac{x + h}{x + h + 1}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} - (\frac{x}{x + 1})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{x + h}{x + h + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{x}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h + 1) (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{x + h}{x + h + 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{x}{x + 1}$ на $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Развернем $(x + h) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x + 1) + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Умножим $h$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x \cdot x - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h + 0 - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Добавим $x$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Вычтем $x$ из $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Добавим $h x + h - x h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Вычтем $x h$ из $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.9.1

Изменим порядок $h$ и $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + x h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.9.2

Вычтем $x h$ из $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Добавим $h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $\frac{1}{x + 1}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Этап 5.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Этап 5.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Этап 5.5

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Этап 5.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Этап 6

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Этап 7.2

Умножим $\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Этап 7.2.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Этап 7.2.3

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Этап 7.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 8