Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) + 1}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{x + h + 1}$ .

$\sqrt{x + h + 1}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - (\sqrt{x + 1})}{h}$

Этап 4

Умножим $- 1$ на $\sqrt{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} x + h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.4

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.6

Найдем предел $\sqrt{x + 1}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\sqrt{x + 0 + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.3

Объединим противоположные члены в $\sqrt{x + 0 + 1} - \sqrt{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.3.2

Вычтем $\sqrt{x + 1}$ из $\sqrt{x + 1}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + h + 1}$ в виде ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ и $g (h) = x + h + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + h + 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + h + 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.3

По правилу суммы производная $x + h + 1$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.4

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $h$ , производная $1$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.12

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.13

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.15

Умножим $\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.16

Перенесем ${(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.4

Поскольку $- \sqrt{x + 1}$ является константой относительно $h$ , производная $- \sqrt{x + 1}$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.5

Добавим $\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 5.5

Перепишем ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x + h + 1}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}} \cdot 1$

Этап 5.6

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$

Этап 6.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1}}$

Этап 6.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1}}$

Этап 6.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} x + h + 1}}$

Этап 6.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

Этап 6.6

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

Этап 6.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1}}$

Этап 7

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 0 + 1}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}})$

Этап 8.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Этап 8.3.2

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Этап 8.3.3

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Этап 8.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Этап 8.3.6

Перепишем ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ в виде $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Этап 8.3.6.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Этап 8.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + 1}}{2 (x + 1)}$

Этап 9