Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем вторую производную.
Этап 1.1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1.1
Продифференцируем, используя правило умножения на константу.
Этап 1.1.1.1.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.1.1.2
Перепишем в виде .
Этап 1.1.1.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.1.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.1.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.1.1.3
Продифференцируем.
Этап 1.1.1.3.1
Умножим на .
Этап 1.1.1.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.1.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.1.3.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.1.3.5
Упростим выражение.
Этап 1.1.1.3.5.1
Добавим и .
Этап 1.1.1.3.5.2
Умножим на .
Этап 1.1.1.4
Упростим.
Этап 1.1.1.4.1
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.1.1.4.2
Объединим термины.
Этап 1.1.1.4.2.1
Объединим и .
Этап 1.1.1.4.2.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.1.2
Найдем вторую производную.
Этап 1.1.2.1
Продифференцируем, используя правило умножения на константу.
Этап 1.1.2.1.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.2.1.2
Применим основные правила для показателей степени.
Этап 1.1.2.1.2.1
Перепишем в виде .
Этап 1.1.2.1.2.2
Перемножим экспоненты в .
Этап 1.1.2.1.2.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.1.2.1.2.2.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.2.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.2.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.1.2.3
Продифференцируем.
Этап 1.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 1.1.2.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.3.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.2.3.5
Упростим выражение.
Этап 1.1.2.3.5.1
Добавим и .
Этап 1.1.2.3.5.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.4
Упростим.
Этап 1.1.2.4.1
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.1.2.4.2
Объединим и .
Этап 1.1.3
Вторая производная по равна .
Этап 1.2
Приравняем вторую производную к , затем найдем решение уравнения .
Этап 1.2.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 1.2.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 1.2.3
Поскольку , решения отсутствуют.
Нет решения
Нет решения
Нет решения
Этап 2
Этап 2.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 2.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.3
Область определения ― это все значения , при которых выражение определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 3
Создадим интервалы вокруг значений , в которых вторая производная равна нулю или не определена.
Этап 4
Этап 4.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 4.2
Упростим результат.
Этап 4.2.1
Упростим знаменатель.
Этап 4.2.1.1
Вычтем из .
Этап 4.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 4.2.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 4.3
График вогнут вниз на интервале , поскольку имеет отрицательное значение.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Упростим знаменатель.
Этап 5.2.1.1
Вычтем из .
Этап 5.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 5.2.2
Сократим общий множитель и .
Этап 5.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.2.2
Сократим общие множители.
Этап 5.2.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.2.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 6
График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 7