Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем вторую производную.
Этап 1.1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.1.2
Продифференцируем.
Этап 1.1.1.2.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.1.2.2
Умножим на .
Этап 1.1.1.2.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.1.2.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.1.2.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.1.2.6
Упростим выражение.
Этап 1.1.1.2.6.1
Добавим и .
Этап 1.1.1.2.6.2
Умножим на .
Этап 1.1.1.3
Возведем в степень .
Этап 1.1.1.4
Возведем в степень .
Этап 1.1.1.5
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.1.6
Добавим и .
Этап 1.1.1.7
Вычтем из .
Этап 1.1.2
Найдем вторую производную.
Этап 1.1.2.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.2.2
Продифференцируем.
Этап 1.1.2.2.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 1.1.2.2.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.1.2.2.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.2.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2.2.3
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.2.2.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.2.5
Умножим на .
Этап 1.1.2.2.6
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.2.2.7
Добавим и .
Этап 1.1.2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.1.2.4
Продифференцируем.
Этап 1.1.2.4.1
Умножим на .
Этап 1.1.2.4.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2.4.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.4.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.2.4.5
Упростим выражение.
Этап 1.1.2.4.5.1
Добавим и .
Этап 1.1.2.4.5.2
Перенесем влево от .
Этап 1.1.2.4.5.3
Умножим на .
Этап 1.1.2.5
Упростим.
Этап 1.1.2.5.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.5.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.5.3
Упростим числитель.
Этап 1.1.2.5.3.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.2.5.3.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.1.2.5.3.1.2
Перепишем в виде .
Этап 1.1.2.5.3.1.3
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 1.1.2.5.3.1.3.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.5.3.1.3.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.5.3.1.3.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.5.3.1.4
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 1.1.2.5.3.1.4.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2
Добавим и .
Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.2
Перенесем влево от .
Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.3
Умножим на .
Этап 1.1.2.5.3.1.4.2
Вычтем из .
Этап 1.1.2.5.3.1.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.5.3.1.6
Упростим.
Этап 1.1.2.5.3.1.6.1
Умножим на .
Этап 1.1.2.5.3.1.6.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.5.3.1.7
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.5.3.1.8
Упростим.
Этап 1.1.2.5.3.1.8.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.1
Перенесем .
Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.3
Добавим и .
Этап 1.1.2.5.3.1.8.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.1
Перенесем .
Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.3
Добавим и .
Этап 1.1.2.5.3.1.9
Упростим каждый член.
Этап 1.1.2.5.3.1.9.1
Умножим на .
Этап 1.1.2.5.3.1.9.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.5.3.1.10
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.2.5.3.1.10.1
Умножим на .
Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.2.5.3.1.10.2
Добавим и .
Этап 1.1.2.5.3.1.11
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 1.1.2.5.3.1.11.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.5.3.1.11.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.5.3.1.11.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.5.3.1.12
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1
Перенесем .
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3
Добавим и .
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1
Перенесем .
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3
Добавим и .
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.4
Умножим на .
Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.5
Умножим на .
Этап 1.1.2.5.3.1.12.2
Добавим и .
Этап 1.1.2.5.3.1.12.3
Добавим и .
Этап 1.1.2.5.3.2
Добавим и .
Этап 1.1.2.5.3.3
Вычтем из .
Этап 1.1.2.5.4
Упростим числитель.
Этап 1.1.2.5.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.4.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.4.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.4.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.4.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.4.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.4.2
Перепишем в виде .
Этап 1.1.2.5.4.3
Пусть . Подставим вместо для всех.
Этап 1.1.2.5.4.4
Разложим на множители, используя метод группировки.
Этап 1.1.2.5.4.4.1
Рассмотрим форму . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно , а сумма — . В данном случае произведение чисел равно , а сумма — .
Этап 1.1.2.5.4.4.2
Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.
Этап 1.1.2.5.4.5
Заменим все вхождения на .
Этап 1.1.2.5.4.6
Перепишем в виде .
Этап 1.1.2.5.4.7
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 1.1.2.5.5
Упростим знаменатель.
Этап 1.1.2.5.5.1
Перепишем в виде .
Этап 1.1.2.5.5.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 1.1.2.5.5.3
Применим правило умножения к .
Этап 1.1.2.5.6
Сократим общий множитель и .
Этап 1.1.2.5.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.6.2
Сократим общие множители.
Этап 1.1.2.5.6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.6.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.2.5.6.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.2.5.7
Сократим общий множитель и .
Этап 1.1.2.5.7.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.7.2
Сократим общие множители.
Этап 1.1.2.5.7.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.5.7.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.2.5.7.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.3
Вторая производная по равна .
Этап 1.2
Приравняем вторую производную к , затем найдем решение уравнения .
Этап 1.2.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 1.2.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 1.2.3
Решим уравнение относительно .
Этап 1.2.3.1
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 1.2.3.2
Приравняем к .
Этап 1.2.3.3
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 1.2.3.3.1
Приравняем к .
Этап 1.2.3.3.2
Решим относительно .
Этап 1.2.3.3.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.2.3.3.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 1.2.3.3.2.3
Упростим .
Этап 1.2.3.3.2.3.1
Перепишем в виде .
Этап 1.2.3.3.2.3.2
Перепишем в виде .
Этап 1.2.3.3.2.3.3
Перепишем в виде .
Этап 1.2.3.3.2.3.4
Перепишем в виде .
Этап 1.2.3.3.2.3.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.3.3.2.3.4.2
Перепишем в виде .
Этап 1.2.3.3.2.3.5
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 1.2.3.3.2.3.6
Перенесем влево от .
Этап 1.2.3.3.2.4
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 1.2.3.3.2.4.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 1.2.3.3.2.4.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 1.2.3.3.2.4.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 1.2.3.4
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 2
Этап 2.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 2.2
Решим относительно .
Этап 2.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 2.2.3
Упростим .
Этап 2.2.3.1
Перепишем в виде .
Этап 2.2.3.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.2.4
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2.2.4.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 2.2.4.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 2.2.4.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2.3
Область определения ― это все значения , при которых выражение определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 3
Создадим интервалы вокруг значений , в которых вторая производная равна нулю или не определена.
Этап 4
Этап 4.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 4.2
Упростим результат.
Этап 4.2.1
Умножим на .
Этап 4.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 4.2.2.1
Добавим и .
Этап 4.2.2.2
Вычтем из .
Этап 4.2.2.3
Возведем в степень .
Этап 4.2.2.4
Возведем в степень .
Этап 4.2.3
Упростим числитель.
Этап 4.2.3.1
Возведем в степень .
Этап 4.2.3.2
Добавим и .
Этап 4.2.4
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Этап 4.2.4.1
Умножим на .
Этап 4.2.4.2
Умножим на .
Этап 4.2.4.3
Сократим общий множитель и .
Этап 4.2.4.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.2.4.3.2
Сократим общие множители.
Этап 4.2.4.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.2.4.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.2.4.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.2.4.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.2.5
Окончательный ответ: .
Этап 4.3
График вогнут вниз на интервале , поскольку имеет отрицательное значение.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Умножим на .
Этап 5.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 5.2.2.1
Добавим и .
Этап 5.2.2.2
Вычтем из .
Этап 5.2.2.3
Единица в любой степени равна единице.
Этап 5.2.2.4
Возведем в степень .
Этап 5.2.2.5
Умножим на .
Этап 5.2.3
Упростим числитель.
Этап 5.2.3.1
Возведем в степень .
Этап 5.2.3.2
Добавим и .
Этап 5.2.4
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Этап 5.2.4.1
Умножим на .
Этап 5.2.4.2
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 5.2.5
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Умножим на .
Этап 6.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 6.2.2.1
Добавим и .
Этап 6.2.2.2
Вычтем из .
Этап 6.2.2.3
Возведем в степень .
Этап 6.2.2.4
Возведем в степень .
Этап 6.2.3
Упростим числитель.
Этап 6.2.3.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.3.2
Добавим и .
Этап 6.2.4
Упростим выражение.
Этап 6.2.4.1
Умножим на .
Этап 6.2.4.2
Умножим на .
Этап 6.2.4.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 6.2.5
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
График вогнут вниз на интервале , поскольку имеет отрицательное значение.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Умножим на .
Этап 7.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 7.2.2.1
Добавим и .
Этап 7.2.2.2
Вычтем из .
Этап 7.2.2.3
Возведем в степень .
Этап 7.2.2.4
Возведем в степень .
Этап 7.2.3
Упростим числитель.
Этап 7.2.3.1
Возведем в степень .
Этап 7.2.3.2
Добавим и .
Этап 7.2.4
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Этап 7.2.4.1
Умножим на .
Этап 7.2.4.2
Умножим на .
Этап 7.2.4.3
Сократим общий множитель и .
Этап 7.2.4.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.2.4.3.2
Сократим общие множители.
Этап 7.2.4.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.2.4.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.4.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 7.2.5
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 8
График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 9