Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x {(x - 2)}^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.1.4.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.1.4.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Этап 1.1.1.4.6

Умножим ${(x - 2)}^{3}$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Этап 1.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Этап 1.1.1.5.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Этап 1.1.1.5.3

Вынесем множитель $3 {(x - 2)}^{2}$ из $9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.3.1

Вынесем множитель $3 {(x - 2)}^{2}$ из $9 x {(x - 2)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Этап 1.1.1.5.3.2

Вынесем множитель $3 {(x - 2)}^{2}$ из $3 {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Этап 1.1.1.5.3.3

Вынесем множитель $3 {(x - 2)}^{2}$ из $3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Этап 1.1.1.5.4

Добавим $3 x$ и $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Этап 1.1.1.5.5

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Этап 1.1.1.5.6

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Этап 1.1.1.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Этап 1.1.1.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Этап 1.1.1.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Этап 1.1.1.5.7.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Этап 1.1.1.5.7.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Этап 1.1.1.5.7.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Этап 1.1.1.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Этап 1.1.1.5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.9.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Этап 1.1.1.5.9.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

Этап 1.1.1.5.10

Развернем $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.11.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.4

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.11.6.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x^{2}) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.7

Умножим $- 12$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.8

Умножим $- 2$ на $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.9

Умножим $4$ на $12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

Этап 1.1.1.5.11.10

Умножим $12$ на $- 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Этап 1.1.1.5.12

Вычтем $48 x^{2}$ из $- 6 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Этап 1.1.1.5.13

Добавим $24 x$ и $48 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 1.1.2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Поскольку $- 54$ является константой относительно $x$ , производная $- 54 x^{2}$ по $x$ равна $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 1.1.2.3.3

Умножим $2$ на $- 54$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 1.1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Поскольку $72$ является константой относительно $x$ , производная $72 x$ по $x$ равна $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 1.1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 1.1.2.4.3

Умножим $72$ на $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

Этап 1.1.2.5.2

Добавим $36 x^{2} - 108 x + 72$ и $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $36$ из $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $36$ из $36 x^{2}$ .

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $36$ из $- 108 x$ .

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $36$ из $72$ .

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Вынесем множитель $36$ из $36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ .

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $36$ из $36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ .

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 1.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $36 (x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 2, 1$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, 1)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 108 \cdot 0 + 72$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Этап 4.2.1.2

Умножим $36$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 108$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 72$

Этап 4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (0) = 0 + 72$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $72$ .

$f'' (0) = 72$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $72$ .

$72$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, 1)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(1, 2)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.5$ .

$f'' (1.5) = 36 {(1.5)}^{2} - 108 \cdot 1.5 + 72$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $1.5$ в степень $2$ .

$f'' (1.5) = 36 \cdot 2.25 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Этап 5.2.1.2

Умножим $36$ на $2.25$ .

$f'' (1.5) = 81 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 108$ на $1.5$ .

$f'' (1.5) = 81 - 162 + 72$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $162$ из $81$ .

$f'' (1.5) = - 81 + 72$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 81$ и $72$ .

$f'' (1.5) = - 9$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 9$ .

$- 9$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(1, 2)$ , поскольку $f'' (1.5)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(1, 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(2, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 108 \cdot 4 + 72$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 108 \cdot 4 + 72$

Этап 6.2.1.2

Умножим $36$ на $16$ .

$f'' (4) = 576 - 108 \cdot 4 + 72$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 108$ на $4$ .

$f'' (4) = 576 - 432 + 72$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $432$ из $576$ .

$f'' (4) = 144 + 72$

Этап 6.2.2.2

Добавим $144$ и $72$ .

$f'' (4) = 216$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $216$ .

$216$

Этап 6.3

График вогнут вверх на интервале $(2, \infty)$ , поскольку $f'' (4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(2, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(1, 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(2, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8