Математический анализ Примеры

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

По правилу суммы производная $8 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.4

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.5

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.5.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.2.1

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.2.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.6.2.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.6.2.2

Объединим противоположные члены в $8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.2.2.1

Вычтем $e^{2 x}$ из $e^{2 x}$ .

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.6.2.2.2

Добавим $8 e^{x}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$

Этап 2.2.2

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Перемножим экспоненты в ${({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.4

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 8 + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.6.2

По правилу суммы производная $8 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.6.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.6.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.7

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.9

Добавим $x$ и $x$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.10

Вынесем множитель $8 + e^{x}$ из ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Вынесем множитель $8 + e^{x}$ из ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x}$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.10.2

Вынесем множитель $8 + e^{x}$ из $- 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.10.3

Вынесем множитель $8 + e^{x}$ из $(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Этап 2.2.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Вынесем множитель $8 + e^{x}$ из ${(8 + e^{x})}^{4}$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.11.2

Сократим общий множитель.

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.11.3

Перепишем это выражение.

$8 \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.12

Объединим $8$ и $\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 (8 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.3.1.1

Умножим $8$ на $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.3.1.2

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.3.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{x + x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.3.1.2.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.3.1.3

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} - 16 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.3.2

Вычтем $16 e^{2 x}$ из $8 e^{2 x}$ .

$\frac{64 e^{x} - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.4.1

Вынесем множитель $8$ из $64 e^{x} - 8 e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.4.1.1

Вынесем множитель $8$ из $64 e^{x}$ .

$\frac{8 (8 e^{x}) - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.4.1.2

Вынесем множитель $8$ из $- 8 e^{2 x}$ .

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.4.1.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})$ .

$\frac{8 (8 e^{x} - e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.4.2

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{8 (8 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.4.3

Пусть $u = e^{x}$ . Подставим $u$ вместо $e^{x}$ для всех.

$\frac{8 (8 u - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.4.4

Вынесем множитель $u$ из $8 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.4.4.1

Вынесем множитель $u$ из $8 u$ .

$\frac{8 (u \cdot 8 - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.4.4.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$\frac{8 (u \cdot 8 + u (- u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.4.4.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 8 + u (- u)$ .

$\frac{8 (u (8 - u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.2.13.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

Этап 3.3.2

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 3.3.2.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 3.3.2.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.3.2.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 3.3.3

Приравняем $8 - e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Приравняем $8 - e^{x}$ к $0$ .

$8 - e^{x} = 0$

Этап 3.3.3.2

Решим $8 - e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- e^{x} = - 8$

Этап 3.3.3.2.2

Разделим каждый член $- e^{x} = - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $- e^{x} = - 8$ на $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 3.3.3.2.2.2.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 3.3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$e^{x} = 8$

Этап 3.3.3.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Этап 3.3.3.2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Этап 3.3.3.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Этап 3.3.3.2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (8)$

Этап 3.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ верно.

$x = \ln (8)$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\ln (8)$ в $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\ln (8)$ .

$f (\ln (8)) = \frac{e^{\ln (8)}}{8 + e^{\ln (8)}}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + e^{\ln (8)}}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + 8}$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $8$ и $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8}{16}$

Этап 4.1.2.3

Сократим общий множитель $8$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8 (1)}{16}$

Этап 4.1.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\ln (8)) = \frac{1}{2}$

Этап 4.1.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4.2

Подставляя $\ln (8)$ в $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ , найдем точку $(\ln (8), \frac{1}{2})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \ln (8))$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.97944154$ .

$f'' (1.97944154) = \frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

Этап 6.3

При $1.97944154$ вторая производная имеет вид $0.01245842$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, \ln (8))$ .

Возрастание в области $(- \infty, \ln (8))$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\ln (8), \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.17944154$ .

$f'' (2.17944154) = \frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

Этап 7.3

При $2.17944154$ вторая производная имеет вид $- 0.01245842$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\ln (8), \infty)$ .

Убывание на $(\ln (8), \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\ln (8), \frac{1}{2})$ .

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

Этап 9