Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} + 6 x - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 + 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $12 x + 6$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x + 6$ .

$12 x + 6$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x + 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x + 6 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$12 x = - 6$

Этап 2.3

Разделим каждый член $12 x = - 6$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $12 x = - 6$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 6}{12}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$x = \frac{6 (- 1)}{12}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- \frac{1}{2}$ в $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{2 (4)}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 4}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.9

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2^{2}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.12

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.13.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Этап 3.1.2.1.13.2

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Этап 3.1.2.1.13.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Этап 3.1.2.1.13.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 6 \cdot - 1$

Этап 3.1.2.1.14

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 6$

Этап 3.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{- 1 + 3}{4}$

Этап 3.1.2.2.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2}{4}$

Этап 3.1.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 (1)}{4}$

Этап 3.1.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{1}{2}$

Этап 3.1.2.3

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.1.2.4

Объединим $6$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2}$

Этап 3.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Умножим $6$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{12 + 1}{2}$

Этап 3.1.2.6.2

Добавим $12$ и $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{13}{2}$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $\frac{13}{2}$ .

$\frac{13}{2}$

Этап 3.2

Подставляя $- \frac{1}{2}$ в $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ , найдем точку $(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{1}{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = 12 (- 0.6) + 6$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $12$ на $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = - 7.2 + 6$

Этап 5.2.2

Добавим $- 7.2$ и $6$ .

$f'' (- 0.6) = - 1.2$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 1.2$ .

$- 1.2$

Этап 5.3

При $- 0.6$ вторая производная имеет вид $- 1.2$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{1}{2})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \frac{1}{2}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = 12 (- 0.4) + 6$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $12$ на $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = - 4.8 + 6$

Этап 6.2.2

Добавим $- 4.8$ и $6$ .

$f'' (- 0.4) = 1.2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $1.2$ .

$1.2$

Этап 6.3

При $- 0.4$ вторая производная имеет вид $1.2$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \frac{1}{2}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$

Этап 8