Математический анализ Примеры

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Этап 1

Запишем $y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{3}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $3$ на $- 8$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{2}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x^{2}$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $- 24$ .

$12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 2.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 x$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32 \cdot 1$

Этап 2.2.4.3

Умножим $32$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 32$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 48 x + 32$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 48 x + 32 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32 = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{2} - 48 x + 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{2}$ .

$4 (3 x^{2}) - 48 x + 32 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 48 x$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 32 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 4 (8) = 0$

Этап 3.2.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x)$ .

$4 (3 x^{2} - 12 x) + 4 (8) = 0$

Этап 3.2.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (3 x^{2} - 12 x) + 4 (8)$ .

$4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$

Этап 3.3

Разделим каждый член $4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 12 x + 8$ на $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 8 = \frac{0}{4}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$3 x^{2} - 12 x + 8 = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 12$ и $c = 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.3

Вычтем $96$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 12$ на $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.3

Вычтем $96$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.4

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $- 12$ на $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.1.3

Вычтем $96$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.1.4

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Этап 3.8.3

Упростим $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3.15470053$ в $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.15470053$ .

$f (3.15470053) = {(3.15470053)}^{4} - 8 {(3.15470053)}^{3} + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $3.15470053$ в степень $4$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 8 {(3.15470053)}^{3} + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $3.15470053$ в степень $3$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 8 \cdot 31.39600717 + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 8$ на $31.39600717$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Возведем $3.15470053$ в степень $2$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 16 \cdot 9.95213548$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $16$ на $9.95213548$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 159.23416778$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $251.16805742$ из $99.04500074$ .

$f (3.15470053) = - 152.12305667 + 159.23416778$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $- 152.12305667$ и $159.23416778$ .

$f (3.15470053) = 7.11111111$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $7.11111111$ .

$7.11111111$

Этап 4.2

Подставляя $3.15470053$ в $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ , найдем точку $(3.15470053, 7.11111111)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(3.15470053, 7.11111111)$

Этап 4.3

Подставим $0.84529946$ в $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.84529946$ .

$f (0.84529946) = {(0.84529946)}^{4} - 8 {(0.84529946)}^{3} + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $0.84529946$ в степень $4$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 8 {(0.84529946)}^{3} + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $0.84529946$ в степень $3$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 8 \cdot 0.60399282 + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим $- 8$ на $0.60399282$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4

Возведем $0.84529946$ в степень $2$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 16 \cdot 0.71453117$

Этап 4.3.2.1.5

Умножим $16$ на $0.71453117$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 11.43249887$

Этап 4.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вычтем $4.83194257$ из $0.5105548$ .

$f (0.84529946) = - 4.32138776 + 11.43249887$

Этап 4.3.2.2.2

Добавим $- 4.32138776$ и $11.43249887$ .

$f (0.84529946) = 7.\overline{1}$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $7.\overline{1}$ .

$7.\overline{1}$

Этап 4.4

Подставляя $0.84529946$ в $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ , найдем точку $(0.84529946, 7.\overline{1})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0.84529946, 7.\overline{1})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(3.15470053, 7.11111111), (0.84529946, 7.\overline{1})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0.84529946) \cup (0.84529946, 3.15470053) \cup (3.15470053, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0.84529946)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.74529946$ .

$f'' (0.74529946) = 12 {(0.74529946)}^{2} - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $0.74529946$ в степень $2$ .

$f'' (0.74529946) = 12 \cdot 0.55547128 - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

Этап 6.2.1.2

Умножим $12$ на $0.55547128$ .

$f'' (0.74529946) = 6.66565544 - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 48$ на $0.74529946$ .

$f'' (0.74529946) = 6.66565544 - 35.77437415 + 32$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $35.77437415$ из $6.66565544$ .

$f'' (0.74529946) = - 29.1087187 + 32$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 29.1087187$ и $32$ .

$f'' (0.74529946) = 2.89128129$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $2.89128129$ .

$2.89128129$

Этап 6.3

При $0.74529946$ вторая производная имеет вид $2.89128129$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0.84529946)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0.84529946)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0.84529946, 3.15470053)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 32$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 32$

Этап 7.2.1.2

Умножим $12$ на $4$ .

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 32$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 48$ на $2$ .

$f'' (2) = 48 - 96 + 32$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $96$ из $48$ .

$f'' (2) = - 48 + 32$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 48$ и $32$ .

$f'' (2) = - 16$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$- 16$

Этап 7.3

При $2$ вторая производная имеет вид $- 16$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0.84529946, 3.15470053)$ .

Убывание на $(0.84529946, 3.15470053)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(3.15470053, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.25470053$ .

$f'' (3.25470053) = 12 {(3.25470053)}^{2} - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $3.25470053$ в степень $2$ .

$f'' (3.25470053) = 12 \cdot 10.59307559 - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

Этап 8.2.1.2

Умножим $12$ на $10.59307559$ .

$f'' (3.25470053) = 127.11690713 - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 48$ на $3.25470053$ .

$f'' (3.25470053) = 127.11690713 - 156.22562584 + 32$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $156.22562584$ из $127.11690713$ .

$f'' (3.25470053) = - 29.1087187 + 32$

Этап 8.2.2.2

Добавим $- 29.1087187$ и $32$ .

$f'' (3.25470053) = 2.89128129$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $2.89128129$ .

$2.89128129$

Этап 8.3

При $3.25470053$ вторая производная имеет вид $2.89128129$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(3.15470053, \infty)$ .

Возрастание в области $(3.15470053, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(0.84529946, 7.\overline{1}), (3.15470053, 7.11111111)$ .

$(0.84529946, 7.\overline{1}), (3.15470053, 7.11111111)$

Этап 10