Математический анализ Примеры

$y = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$

Этап 1

Запишем $y = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$ в виде функции.

$f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $8$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.4.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} (13)$

Этап 2.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 + 0$

Этап 2.1.5.2

Добавим $- 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8$ и $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{2}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $24$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 x + 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $- 12 x^{2} + 48 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 x$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 12 x^{2} + 48 x$ .

$- 12 x^{2} + 48 x$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 12 x^{2} + 48 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 12 x^{2} + 48 x = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 12 x^{2} + 48 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x + 48 x = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $- 12 x$ из $48 x$ .

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 4 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 12 x (x) - 12 x (- 4)$ .

$- 12 x (x - 4) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 12 x (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 13$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - 0 + 8 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 13$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 13$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 13$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $8$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 13$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 8$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 13$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 13$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 13$

Этап 4.1.2.2.3

Добавим $0$ и $13$ .

$f (0) = 13$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $13$ .

$13$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$ , найдем точку $(0, 13)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 13)$

Этап 4.3

Подставим $4$ в $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = - {(4)}^{4} + 8 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4 + 13$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f (4) = - 1 \cdot 256 + 8 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4 + 13$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $256$ .

$f (4) = - 256 + 8 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4 + 13$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (4) = - 256 + 8 \cdot 64 - 8 \cdot 4 + 13$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $8$ на $64$ .

$f (4) = - 256 + 512 - 8 \cdot 4 + 13$

Этап 4.3.2.1.5

Умножим $- 8$ на $4$ .

$f (4) = - 256 + 512 - 32 + 13$

Этап 4.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Добавим $- 256$ и $512$ .

$f (4) = 256 - 32 + 13$

Этап 4.3.2.2.2

Вычтем $32$ из $256$ .

$f (4) = 224 + 13$

Этап 4.3.2.2.3

Добавим $224$ и $13$ .

$f (4) = 237$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $237$ .

$237$

Этап 4.4

Подставляя $4$ в $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$ , найдем точку $(4, 237)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(4, 237)$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 13), (4, 237)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 48 (- 0.1)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 48 (- 0.1)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 12$ на $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 48 (- 0.1)$

Этап 6.2.1.3

Умножим $48$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 4.8$

Этап 6.2.2

Вычтем $4.8$ из $- 0.12$ .

$f'' (- 0.1) = - 4.92$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 4.92$ .

$- 4.92$

Этап 6.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 4.92$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 4)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = - 12 {(2)}^{2} + 48 (2)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (2) = - 12 \cdot 4 + 48 (2)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 12$ на $4$ .

$f'' (2) = - 48 + 48 (2)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $48$ на $2$ .

$f'' (2) = - 48 + 96$

Этап 7.2.2

Добавим $- 48$ и $96$ .

$f'' (2) = 48$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $48$ .

$48$

Этап 7.3

При $2$ вторая производная имеет вид $48$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, 4)$ .

Возрастание в области $(0, 4)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.1$ .

$f'' (4.1) = - 12 {(4.1)}^{2} + 48 (4.1)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $4.1$ в степень $2$ .

$f'' (4.1) = - 12 \cdot 16.81 + 48 (4.1)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 12$ на $16.81$ .

$f'' (4.1) = - 201.72 + 48 (4.1)$

Этап 8.2.1.3

Умножим $48$ на $4.1$ .

$f'' (4.1) = - 201.72 + 196.8$

Этап 8.2.2

Добавим $- 201.72$ и $196.8$ .

$f'' (4.1) = - 4.92$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 4.92$ .

$- 4.92$

Этап 8.3

При $4.1$ вторая производная имеет вид $- 4.92$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(4, \infty)$ .

Убывание на $(4, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 13), (4, 237)$ .

$(0, 13), (4, 237)$

Этап 10