Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x {(x - 3)}^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 3)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 3)}^{3})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \cdot 1)$

Этап 1.1.4.6

Умножим ${(x - 3)}^{3}$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3})$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Этап 1.1.5.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Этап 1.1.5.3

Вынесем множитель $3 {(x - 3)}^{2}$ из $9 x {(x - 3)}^{2} + 3 {(x - 3)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Вынесем множитель $3 {(x - 3)}^{2}$ из $9 x {(x - 3)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Этап 1.1.5.3.2

Вынесем множитель $3 {(x - 3)}^{2}$ из $3 {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$

Этап 1.1.5.3.3

Вынесем множитель $3 {(x - 3)}^{2}$ из $3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x + x - 3)$

Этап 1.1.5.4

Добавим $3 x$ и $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

Этап 1.1.5.5

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)$

Этап 1.1.5.6

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

Этап 1.1.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

Этап 1.1.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Этап 1.1.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Этап 1.1.5.7.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Этап 1.1.5.7.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)$

Этап 1.1.5.7.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$

Этап 1.1.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

Этап 1.1.5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.9.1

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

Этап 1.1.5.9.2

Умножим $3$ на $9$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$

Этап 1.1.5.10

Развернем $(3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.4

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x \cdot x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.6.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 (x \cdot x)) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x^{2}) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.7

Умножим $- 18$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.8

Умножим $- 3$ на $- 18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.9

Умножим $4$ на $27$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x + 27 \cdot - 3$

Этап 1.1.5.11.10

Умножим $27$ на $- 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

Этап 1.1.5.12

Вычтем $72 x^{2}$ из $- 9 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

Этап 1.1.5.13

Добавим $54 x$ и $108 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [162 x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 81$ является константой относительно $x$ , производная $- 81 x^{2}$ по $x$ равна $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $- 81$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [162 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $162$ является константой относительно $x$ , производная $162 x$ по $x$ равна $162 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 81)$

Этап 1.2.4.3

Умножим $162$ на $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + \frac{d}{d x} (- 81)$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Поскольку $- 81$ является константой относительно $x$ , производная $- 81$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $36 x^{2} - 162 x + 162$ и $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $18$ из $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $18$ из $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 162 x + 162 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $18$ из $- 162 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 162 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $18$ из $162$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 18 (9) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $18$ из $18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $18$ из $18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9)$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 x$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.2

Запишем $- 9$ как $- 3$ плюс $- 6$

$18 (2 x^{2} + (- 3 - 6) x + 9) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9) = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$18 ((2 x^{2} - 3 x) - 6 x + 9) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$18 (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$18 ((2 x - 3) (x - 3)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{2}, 3$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{3}{2}$ в $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{3}{2}) {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $3 (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Этап 3.1.2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

Этап 3.1.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

Этап 3.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

Этап 3.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{3}$

Этап 3.1.2.5.2

Вычтем $6$ из $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

Этап 3.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3}$

Этап 3.1.2.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3})$

Этап 3.1.2.7.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}))$

Этап 3.1.2.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}})$

Этап 3.1.2.9

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{2^{3}})$

Этап 3.1.2.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{8})$

Этап 3.1.2.11

Умножим $\frac{9}{2} (- \frac{27}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.11.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

Этап 3.1.2.11.2

Умножим $9$ на $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{2 \cdot 8}$

Этап 3.1.2.11.3

Умножим $2$ на $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{16}$

Этап 3.1.2.12

Окончательный ответ: $- \frac{243}{16}$ .

$- \frac{243}{16}$

Этап 3.2

Подставляя $\frac{3}{2}$ в $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ , найдем точку $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$

Этап 3.3

Подставим $3$ в $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 3 (3) {((3) - 3)}^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f (3) = 9 {((3) - 3)}^{3}$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (3) = 9 \cdot 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (3) = 9 \cdot 0$

Этап 3.3.2.4

Умножим $9$ на $0$ .

$f (3) = 0$

Этап 3.3.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.4

Подставляя $3$ в $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ , найдем точку $(3, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(3, 0)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{3}{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.4$ .

$f'' (1.4) = 36 {(1.4)}^{2} - 162 \cdot 1.4 + 162$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $1.4$ в степень $2$ .

$f'' (1.4) = 36 \cdot 1.96 - 162 \cdot 1.4 + 162$

Этап 5.2.1.2

Умножим $36$ на $1.96$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 162 \cdot 1.4 + 162$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 162$ на $1.4$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 226.8 + 162$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $226.8$ из $70.56$ .

$f'' (1.4) = - 156.24 + 162$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 156.24$ и $162$ .

$f'' (1.4) = 5.76$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $5.76$ .

$5.76$

Этап 5.3

При $1.4$ вторая производная имеет вид $5.76$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, \frac{3}{2})$ .

Возрастание в области $(- \infty, \frac{3}{2})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{3}{2}, 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.25$ .

$f'' (2.25) = 36 {(2.25)}^{2} - 162 \cdot 2.25 + 162$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $2.25$ в степень $2$ .

$f'' (2.25) = 36 \cdot 5.0625 - 162 \cdot 2.25 + 162$

Этап 6.2.1.2

Умножим $36$ на $5.0625$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 162 \cdot 2.25 + 162$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 162$ на $2.25$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 364.5 + 162$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $364.5$ из $182.25$ .

$f'' (2.25) = - 182.25 + 162$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 182.25$ и $162$ .

$f'' (2.25) = - 20.25$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 20.25$ .

$- 20.25$

Этап 6.3

При $2.25$ вторая производная имеет вид $- 20.25$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\frac{3}{2}, 3)$ .

Убывание на $(\frac{3}{2}, 3)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.1$ .

$f'' (3.1) = 36 {(3.1)}^{2} - 162 \cdot 3.1 + 162$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3.1$ в степень $2$ .

$f'' (3.1) = 36 \cdot 9.61 - 162 \cdot 3.1 + 162$

Этап 7.2.1.2

Умножим $36$ на $9.61$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 162 \cdot 3.1 + 162$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 162$ на $3.1$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 502.2 + 162$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $502.2$ из $345.96$ .

$f'' (3.1) = - 156.24 + 162$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 156.24$ и $162$ .

$f'' (3.1) = 5.76$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $5.76$ .

$5.76$

Этап 7.3

При $3.1$ вторая производная имеет вид $5.76$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(3, \infty)$ .

Возрастание в области $(3, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

Этап 9