Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x^{4} - 36 x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $6 x^{4} - 36 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{4}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x^{2}$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 36 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 36 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 36$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 72 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $24 x^{3} - 72 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{3}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $24$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 72$ является константой относительно $x$ , производная $- 72 x$ по $x$ равна $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 72 \cdot 1$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 72$ на $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 72$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $72 x^{2} - 72$ .

$72 x^{2} - 72$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $72 x^{2} - 72 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$72 x^{2} - 72 = 0$

Этап 2.2

Добавим $72$ к обеим частям уравнения.

$72 x^{2} = 72$

Этап 2.3

Разделим каждый член $72 x^{2} = 72$ на $72$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $72 x^{2} = 72$ на $72$ .

$\frac{72 x^{2}}{72} = \frac{72}{72}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{72 x^{2}}{72} = \frac{72}{72}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{72}{72}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $72$ на $72$ .

$x^{2} = 1$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ в $f (x) = 6 x^{4} - 36 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 6 {(1)}^{4} - 36 {(1)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 6 \cdot 1 - 36 {(1)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$f (1) = 6 - 36 {(1)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 6 - 36 \cdot 1$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $- 36$ на $1$ .

$f (1) = 6 - 36$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $36$ из $6$ .

$f (1) = - 30$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $- 30$ .

$- 30$

Этап 3.2

Подставляя $1$ в $f (x) = 6 x^{4} - 36 x^{2}$ , найдем точку $(1, - 30)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(1, - 30)$

Этап 3.3

Подставим $- 1$ в $f (x) = 6 x^{4} - 36 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 6 {(- 1)}^{4} - 36 {(- 1)}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 1) = 6 \cdot 1 - 36 {(- 1)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$f (- 1) = 6 - 36 {(- 1)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 6 - 36 \cdot 1$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $- 36$ на $1$ .

$f (- 1) = 6 - 36$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $36$ из $6$ .

$f (- 1) = - 30$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $- 30$ .

$- 30$

Этап 3.4

Подставляя $- 1$ в $f (x) = 6 x^{4} - 36 x^{2}$ , найдем точку $(- 1, - 30)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1, - 30)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(1, - 30), (- 1, - 30)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 72 {(- 1.1)}^{2} - 72$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = 72 \cdot 1.21 - 72$

Этап 5.2.1.2

Умножим $72$ на $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 87.12 - 72$

Этап 5.2.2

Вычтем $72$ из $87.12$ .

$f'' (- 1.1) = 15.12$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $15.12$ .

$15.12$

Этап 5.3

При $- 1.1$ вторая производная имеет вид $15.12$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 1)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 1)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1, 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 72 {(0)}^{2} - 72$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 72 \cdot 0 - 72$

Этап 6.2.1.2

Умножим $72$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 72$

Этап 6.2.2

Вычтем $72$ из $0$ .

$f'' (0) = - 72$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 72$ .

$- 72$

Этап 6.3

При $0$ вторая производная имеет вид $- 72$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 1, 1)$ .

Убывание на $(- 1, 1)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.1$ .

$f'' (1.1) = 72 {(1.1)}^{2} - 72$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $1.1$ в степень $2$ .

$f'' (1.1) = 72 \cdot 1.21 - 72$

Этап 7.2.1.2

Умножим $72$ на $1.21$ .

$f'' (1.1) = 87.12 - 72$

Этап 7.2.2

Вычтем $72$ из $87.12$ .

$f'' (1.1) = 15.12$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $15.12$ .

$15.12$

Этап 7.3

При $1.1$ вторая производная имеет вид $15.12$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 30), (1, - 30)$ .

$(- 1, - 30), (1, - 30)$

Этап 9