Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.2
Продифференцируем.
Этап 1.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.2.4
Упростим выражение.
Этап 1.1.2.4.1
Добавим и .
Этап 1.1.2.4.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.1.4
Объединим и .
Этап 1.1.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.1.6
Упростим числитель.
Этап 1.1.6.1
Умножим на .
Этап 1.1.6.2
Вычтем из .
Этап 1.1.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.1.8
Объединим и .
Этап 1.1.9
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.1.10
Упростим.
Этап 1.1.10.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.10.2
Объединим термины.
Этап 1.1.10.2.1
Объединим и .
Этап 1.1.10.2.2
Перенесем в числитель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.1.10.2.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.10.2.3.1
Умножим на .
Этап 1.1.10.2.3.1.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.10.2.3.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.10.2.3.2
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 1.1.10.2.3.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.1.10.2.3.4
Вычтем из .
Этап 1.1.10.2.4
Объединим и .
Этап 1.1.10.2.5
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.1.10.2.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.1.10.2.7
Объединим и .
Этап 1.1.10.2.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.1.10.2.9
Перенесем влево от .
Этап 1.1.10.2.10
Добавим и .
Этап 1.2
Первая производная по равна .
Этап 2
Этап 2.1
Пусть первая производная равна .
Этап 2.2
Найдем НОК знаменателей членов уравнения.
Этап 2.2.1
Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.
Этап 2.2.2
Since contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part then find LCM for the variable part .
Этап 2.2.3
НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.
1. Перечислим простые множители каждого числа.
2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.
Этап 2.2.4
Поскольку не имеет множителей, кроме и .
— простое число
Этап 2.2.5
Число не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.
Не является простым
Этап 2.2.6
НОК представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.
Этап 2.2.7
НОК представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.
Этап 2.2.8
НОК представляет собой произведение числовой части и переменной части.
Этап 2.3
Каждый член в умножим на , чтобы убрать дроби.
Этап 2.3.1
Умножим каждый член на .
Этап 2.3.2
Упростим левую часть.
Этап 2.3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 2.3.2.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 2.3.2.1.2
Сократим общий множитель .
Этап 2.3.2.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.2.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.3.2.1.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.3.2.1.3.1
Перенесем .
Этап 2.3.2.1.3.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.3.2.1.3.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.3.2.1.3.4
Добавим и .
Этап 2.3.2.1.3.5
Разделим на .
Этап 2.3.2.1.4
Упростим .
Этап 2.3.2.1.5
Сократим общий множитель .
Этап 2.3.2.1.5.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 2.3.2.1.5.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.2.1.5.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.3.3
Упростим правую часть.
Этап 2.3.3.1
Умножим .
Этап 2.3.3.1.1
Умножим на .
Этап 2.3.3.1.2
Умножим на .
Этап 2.4
Решим уравнение.
Этап 2.4.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.4.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 2.4.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.4.2.2
Упростим левую часть.
Этап 2.4.2.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 2.4.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.4.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 2.4.2.3
Упростим правую часть.
Этап 2.4.2.3.1
Разделим на .
Этап 3
Значения, при которых производная равна : .
Этап 4
Этап 4.1
Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.
Этап 4.1.1
Применим правило , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.
Этап 4.1.2
Применим правило , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.
Этап 4.1.3
Любое число, возведенное в степень , является основанием.
Этап 4.2
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 4.3
Решим относительно .
Этап 4.3.1
Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.
Этап 4.3.2
Упростим каждую часть уравнения.
Этап 4.3.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.2.2
Упростим левую часть.
Этап 4.3.2.2.1
Упростим .
Этап 4.3.2.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 4.3.2.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.2.1.3
Перемножим экспоненты в .
Этап 4.3.2.2.1.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.3.2.2.1.3.2
Сократим общий множитель .
Этап 4.3.2.2.1.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.2.2.1.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.2.3
Упростим правую часть.
Этап 4.3.2.3.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 4.3.3
Решим относительно .
Этап 4.3.3.1
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 4.3.3.1.1
Разделим каждый член на .
Этап 4.3.3.1.2
Упростим левую часть.
Этап 4.3.3.1.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 4.3.3.1.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.3.1.2.1.2
Разделим на .
Этап 4.3.3.1.3
Упростим правую часть.
Этап 4.3.3.1.3.1
Разделим на .
Этап 4.3.3.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 4.3.3.3
Упростим .
Этап 4.3.3.3.1
Перепишем в виде .
Этап 4.3.3.3.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 4.3.3.3.3
Плюс или минус равно .
Этап 5
Разобьем на отдельные интервалы вокруг значений , при которых производная равна или не определена.
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим каждый член.
Этап 6.2.1.1
Упростим числитель.
Этап 6.2.1.1.1
Перепишем в виде .
Этап 6.2.1.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 6.2.1.1.3
Сократим общий множитель .
Этап 6.2.1.1.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.1.1.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.2.1.1.4
Найдем экспоненту.
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.1.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 6.2.1.4
Упростим знаменатель.
Этап 6.2.1.4.1
Перепишем в виде .
Этап 6.2.1.4.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 6.2.1.4.3
Сократим общий множитель .
Этап 6.2.1.4.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.1.4.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.2.1.4.4
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.5
Умножим на .
Этап 6.2.2
Объединим дроби.
Этап 6.2.2.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.2.2.2
Упростим выражение.
Этап 6.2.2.2.1
Вычтем из .
Этап 6.2.2.2.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 6.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
При производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Упростим каждый член.
Этап 7.2.1.1
Упростим числитель.
Этап 7.2.1.1.1
Перепишем в виде .
Этап 7.2.1.1.2
Перепишем в виде .
Этап 7.2.1.1.3
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.1.4
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 7.2.1.1.5
Умножим на .
Этап 7.2.1.1.6
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 7.2.1.1.7
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 7.2.1.1.8
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 7.2.1.1.9
Объединим и .
Этап 7.2.1.1.10
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 7.2.1.1.11
Упростим числитель.
Этап 7.2.1.1.11.1
Умножим на .
Этап 7.2.1.1.11.2
Вычтем из .
Этап 7.2.1.2
Упростим знаменатель.
Этап 7.2.1.2.1
Применим правило умножения к .
Этап 7.2.1.2.2
Единица в любой степени равна единице.
Этап 7.2.1.3
Объединим и .
Этап 7.2.1.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 7.2.1.5
Умножим .
Этап 7.2.1.5.1
Объединим и .
Этап 7.2.1.5.2
Перепишем в виде .
Этап 7.2.1.5.3
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 7.2.1.5.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 7.2.1.5.5
Объединим и .
Этап 7.2.1.5.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 7.2.1.5.7
Упростим числитель.
Этап 7.2.1.5.7.1
Умножим на .
Этап 7.2.1.5.7.2
Добавим и .
Этап 7.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 7.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
При производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 8
Этап 8.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 8.2
Упростим результат.
Этап 8.2.1
Упростим числитель.
Этап 8.2.1.1
Перепишем в виде .
Этап 8.2.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 8.2.1.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 8.2.1.4
Объединим и .
Этап 8.2.1.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 8.2.1.6
Упростим числитель.
Этап 8.2.1.6.1
Умножим на .
Этап 8.2.1.6.2
Добавим и .
Этап 8.2.2
Окончательный ответ: .
Этап 8.3
Упростим.
Этап 8.4
При производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 9
Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.
Возрастание в области:
Убывание на:
Этап 10