Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2.2

Добавим $- 8 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.6.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Этап 1.1.6.5.3

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$8 x = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $8 x = 0$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $8 x = 0$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{8}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $8$ .

$x = 0$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.2.3

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2.3.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 4.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{8 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $8$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 3$ и $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 {(- 5)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 \cdot 25}$

Этап 6.2.2.5

Умножим $25$ на $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{25}$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 3) = \frac{24}{25}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{24}{25}$ .

$\frac{24}{25}$

Этап 6.3

При $x = - 3$ производная имеет вид $\frac{24}{25}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 2, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{8 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 {(- 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

Этап 7.2.2.5

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{9}$

Этап 7.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1) = \frac{8}{9}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Этап 7.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $\frac{8}{9}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 2, 0)$ .

Возрастание в области $(- 2, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $8$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9 \cdot 1}$

Этап 8.2.3

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9}$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- \frac{8}{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 2)$ .

Убывание на $(0, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{8 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $8$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{24}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Добавим $3$ и $2$ .

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1^{2}}$

Этап 9.2.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1}$

Этап 9.2.3

Умножим $25$ на $1$ .

$f' (3) = - \frac{24}{25}$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{24}{25}$ .

$- \frac{24}{25}$

Этап 9.3

При $x = 3$ производная имеет вид $- \frac{24}{25}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Убывание на $(2, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Убывание на: $(0, 2), (2, \infty)$

Этап 11