Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 1.1.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Этап 1.1.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Этап 1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{2}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{- 1}$

Этап 6.2.2

Разделим $2$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $2$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{2}{1}$

Этап 7.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Этап 7.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (1) = - 2$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- 2$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0)$

Убывание на: $(0, \infty)$

Этап 9