Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1
Продифференцируем.
Этап 1.1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2
Найдем значение .
Этап 1.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.3
Умножим на .
Этап 1.1.3
Продифференцируем, используя правило константы.
Этап 1.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.3.2
Добавим и .
Этап 1.2
Первая производная по равна .
Этап 2
Этап 2.1
Пусть первая производная равна .
Этап 2.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.3
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2.4
Разложим левую часть уравнения на множители.
Этап 2.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.4.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.4.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.4.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.4.2
Перепишем в виде .
Этап 2.4.3
Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, , где и .
Этап 2.4.4
Разложим на множители.
Этап 2.4.4.1
Упростим.
Этап 2.4.4.1.1
Перенесем влево от .
Этап 2.4.4.1.2
Возведем в степень .
Этап 2.4.4.2
Избавимся от ненужных скобок.
Этап 2.5
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 2.6
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 2.6.1
Приравняем к .
Этап 2.6.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.7
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 2.7.1
Приравняем к .
Этап 2.7.2
Решим относительно .
Этап 2.7.2.1
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
Этап 2.7.2.2
Подставим значения , и в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно .
Этап 2.7.2.3
Упростим.
Этап 2.7.2.3.1
Упростим числитель.
Этап 2.7.2.3.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.7.2.3.1.2
Умножим .
Этап 2.7.2.3.1.2.1
Умножим на .
Этап 2.7.2.3.1.2.2
Умножим на .
Этап 2.7.2.3.1.3
Вычтем из .
Этап 2.7.2.3.1.4
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.3.1.5
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.3.1.6
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.3.1.7
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.3.1.7.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.7.2.3.1.7.2
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.3.1.8
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 2.7.2.3.1.9
Перенесем влево от .
Этап 2.7.2.3.2
Умножим на .
Этап 2.7.2.3.3
Упростим .
Этап 2.7.2.4
Упростим выражение, которое нужно решить для части значения .
Этап 2.7.2.4.1
Упростим числитель.
Этап 2.7.2.4.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.7.2.4.1.2
Умножим .
Этап 2.7.2.4.1.2.1
Умножим на .
Этап 2.7.2.4.1.2.2
Умножим на .
Этап 2.7.2.4.1.3
Вычтем из .
Этап 2.7.2.4.1.4
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.4.1.5
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.4.1.6
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.4.1.7
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.4.1.7.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.7.2.4.1.7.2
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.4.1.8
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 2.7.2.4.1.9
Перенесем влево от .
Этап 2.7.2.4.2
Умножим на .
Этап 2.7.2.4.3
Упростим .
Этап 2.7.2.4.4
Заменим на .
Этап 2.7.2.5
Упростим выражение, которое нужно решить для части значения .
Этап 2.7.2.5.1
Упростим числитель.
Этап 2.7.2.5.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.7.2.5.1.2
Умножим .
Этап 2.7.2.5.1.2.1
Умножим на .
Этап 2.7.2.5.1.2.2
Умножим на .
Этап 2.7.2.5.1.3
Вычтем из .
Этап 2.7.2.5.1.4
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.5.1.5
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.5.1.6
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.5.1.7
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.5.1.7.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.7.2.5.1.7.2
Перепишем в виде .
Этап 2.7.2.5.1.8
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 2.7.2.5.1.9
Перенесем влево от .
Этап 2.7.2.5.2
Умножим на .
Этап 2.7.2.5.3
Упростим .
Этап 2.7.2.5.4
Заменим на .
Этап 2.7.2.6
Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.
Этап 2.8
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 3
Значения, при которых производная равна : .
Этап 4
Найдя точку, в которой производная равна или не определена, проверим возрастание и убывание в интервале .
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Упростим каждый член.
Этап 5.2.1.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 5.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.2.2
Вычтем из .
Этап 5.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
При производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим каждый член.
Этап 6.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.2
Вычтем из .
Этап 6.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
При производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 7
Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.
Возрастание в области:
Убывание на:
Этап 8