Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + 3 x$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x^{2} + 3 x$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 3 \cdot 1$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$2 x + 3$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x + 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{2} + 3 x$ в точке $x = - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 4.2.1.3

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 4.2.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 4.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 4.2.1.6

Умножим $3 (- \frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

Этап 4.2.1.6.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Этап 4.2.1.6.3

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Этап 4.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $- \frac{9}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Этап 4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

Этап 4.2.5.2

Вычтем $18$ из $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Этап 4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4}$

Этап 4.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = x^{2} + 3 x$ : $y = - \frac{9}{4}$ .

$y = - \frac{9}{4}$

Этап 6