Математический анализ Примеры

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 3 x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4 x^{3} - 6 x$ и $0$ .

$4 x^{3} - 6 x$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 6 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{3} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 6 x = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 6 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3) = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$2 x (2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4

Приравняем $2 x^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $2 x^{2} - 3$ к $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $2 x^{2} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} = 3$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Этап 3.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Этап 3.4.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.4.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.4.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.4.2.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.2.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.4.2.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.2.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.2.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.2.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.2.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.4.2.4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.4.2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Этап 3.4.2.4.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 3.4.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 3.4.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 3.4.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 2$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 2$

Этап 4.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 2$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Этап 4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f (0) = 2$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ в точке $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{6}}^{4}$ в виде $6^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.2.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.2.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.4

Сократим общий множитель $36$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Этап 5.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + 2$

Этап 5.2.1.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2$

Этап 5.2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2$

Этап 5.2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

Этап 5.2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

Этап 5.2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

Этап 5.2.1.6.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

Этап 5.2.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4}) + 2$

Этап 5.2.1.8

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4} + 2$

Этап 5.2.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

Этап 5.2.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

Этап 5.2.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 5.2.1.9

Умножим $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.9.1

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 2$

Этап 5.2.1.9.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 2$

Этап 5.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2$

Этап 5.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 2$

Этап 5.2.2.3

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

Этап 5.2.2.4

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 5.2.2.5

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 8}{4}$

Этап 5.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вычтем $18$ из $9$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9 + 8}{4}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $- 9$ и $8$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{1}{4}$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Этап 6

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ ― $y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$ .

$y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$

Этап 7