Математический анализ Примеры

$y = x + \sin (x)$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x + \sin (x)$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 + \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 1$

Этап 3.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 3.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 3.5

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 3.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x + \sin (x)$ в точке $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = (π) + \sin (π)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (π) = π + \sin (0)$

Этап 4.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (π) = π + 0$

Этап 4.2.2

Добавим $π$ и $0$ .

$f (π) = π$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $π$ .

$π$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = x + \sin (x)$ в точке $x = π + 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π + 2 π$ .

$f (π + 2 π) = (π + 2 π) + \sin (π + 2 π)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Добавим $π$ и $2 π$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (3 π)$

Этап 5.2.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (π)$

Этап 5.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (0)$

Этап 5.2.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + 0$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $π$ и $2 π$ .

$f (π + 2 π) = 3 π + 0$

Этап 5.2.2.2

Добавим $3 π$ и $0$ .

$f (π + 2 π) = 3 π$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $3 π$ .

$3 π$

Этап 6

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = x + \sin (x)$ : $y = π, y = 3 π$ .

$y = π, y = 3 π$

Этап 7